QCM : Cours fondamentaux en mathématiques et probabilités — 22 questions

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A se calcule dans un cadre restreint où l’on suppose A réalisé. Ce n’est pas la même chose que la probabilité de A sachant B.

Explication

On divise la probabilité de l’intersection par la probabilité de l’événement conditionnant A. Cette formule exprime bien le filtrage de l’univers par A.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. Cela correspond à un angle droit entre eux.

Explication

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes. C’est donc x1x2 + y1y2.

Explication

L’image de a est la valeur obtenue en appliquant la fonction à a, donc f(a). Les antécédents sont au contraire les x tels que f(x)=b.

Explication

Résoudre graphiquement f(x)=b revient à chercher les points où la courbe coupe la droite horizontale y=b. Les abscisses de ces points sont les antécédents de b.

Explication

Si Δ<0, le trinôme n’admet aucune solution réelle. Le discriminant permet précisément de déterminer le nombre de racines réelles.

Explication

Dans la forme canonique, α est l’abscisse du sommet de la parabole. L’ordonnée du sommet est β.

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. Cela ne signifie pas qu’ils sont incompatibles.

Explication

Quand A et B sont incompatibles, leur intersection est vide, donc la probabilité de leur réunion est la somme des probabilités. La formule générale se simplifie alors.

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de A. Cela traduit le fait que l’univers est restreint à A.

Explication

Pour une loi binomiale B(n;p), l’espérance vaut E(X)=np. La quantité np(1-p) correspond à la variance, pas à l’espérance.

Explication

Un signe positif de la dérivée indique que la fonction est croissante. Un signe négatif correspondrait au contraire à une décroissance.

Explication

Après le calcul de f'(x), on cherche d’abord les points où f'(x)=0 afin d’identifier les points critiques. On peut ensuite étudier le signe de f' pour construire le tableau de variation.

Explication

Une suite géométrique se construit en multipliant chaque terme par une constante q. La relation u_(n+1)=u_n+r décrit, elle, une suite arithmétique.

Explication

Le cosinus est une fonction paire, donc cos(-x)=cos(x). À l’inverse, le sinus est impair, ce qui donne sin(-x)=-sin(x).

Explication

Les exponentielles respectent la règle e^(x+y)=e^x e^y. On a aussi e^0=1 et non 0.

Explication

La dérivée de e^(ax+b) est obtenue par la règle de dérivation en chaîne : on multiplie par la dérivée de l’exposant, soit a. La fonction exponentielle reste ensuite inchangée.

Explication

La distance AB est la norme du vecteur AB, ce qui conduit à la formule de distance usuelle dans le plan. Les autres expressions ne tiennent pas compte correctement du carré des écarts.

Explication

Le théorème d’Al-Kashi relie le carré d’un côté au carré des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris. Le signe devant le terme en cosinus est négatif.

Explication

L’équation de la tangente en x = a s’écrit avec la pente f'(a) et le point de contact f(a), donc y = f'(a)(x - a) + f(a). Les autres propositions mélangent la pente, l’abscisse a ou l’ordonnée f(a).

Explication

La règle du quotient donne bien une différence au numérateur et le carré du dénominateur : (u/v)' = (u'v - uv') / v². L’option avec un signe plus correspond à une confusion avec la règle du produit.