Lorsque u(A) est inclus dans A
Explication
Un sous-espace est stable si l’image de tout vecteur de A par u reste dans A, c’est-à-dire si u(A)⊂A. L’égalité u(A)=A est une condition plus forte qui n’est pas requise.
Le noyau de u−λ idE
Explication
Le sous-espace propre associé à λ est Eλ=ker(u−λ idE), donc l’ensemble des vecteurs vérifiant u(x)=λx. Le plus petit sous-espace stable contenant un vecteur est le sous-espace cyclique, pas le sous-espace propre.
Les zéros du polynôme caractéristique sont exactement les valeurs propres
Explication
Les racines de χu(X)=det(XIdE−u) sont exactement les valeurs propres de u. Les valeurs singulières relèvent de la SVD, pas du polynôme caractéristique.
Pour chaque valeur propre λ, dim(Eλ)=mλ
Explication
Si χu est scindé, u est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre λ, la dimension de l’espace propre égale sa multiplicité algébrique mλ. Avoir seulement dim(Eλ)=1 n’est pas suffisant en général.
Lorsque son polynôme caractéristique est scindé sur le corps considéré
Explication
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps K. La diagonalisabilité est une condition plus forte que la trigonalisation.
C’est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré
Explication
Le polynôme minimal est l’unique polynôme annulateur unitaire de degré minimal, et il divise tout autre polynôme annulateur. Ses racines sont exactement les valeurs propres, mais il n’est pas défini comme un produit de polynômes séparés.
Il est égal à la dimension du sous-espace caractéristique Nλ
Explication
Pour une valeur propre λ, le nombre de blocs de Jordan associés à λ est égal à dim(Nλ). La multiplicité algébrique mλ correspond à la somme des tailles des blocs, et non à leur nombre.
u s’écrit de façon unique comme s+n avec s diagonalisable, n nilpotent et sn=ns
Explication
La décomposition de Jordan–Chevalley affirme que u=s+n, avec s diagonalisable, n nilpotent et s commutant avec n, de manière unique. Si n=0, alors u est diagonalisable.
b(x,y)=(MatB(x))^T M MatC(y)
Explication
La valeur de la forme bilinéaire se calcule par le produit matriciel des coordonnées : b(x,y)=(MatB(x))^T M MatC(y). Cette écriture encode la bilinéarité en fonction des bases choisies.
c(x,y)=1/4·(q(x+y)−q(x−y))
Explication
Si car(K)≠2, la forme bilinéaire symétrique polaire est donnée par c(x,y)=¼(q(x+y)−q(x−y)). La formule avec une somme au lieu d’une différence n’est pas la polarisation correcte.
L'algorithme de Gram-Schmidt appliqué à la famille (X^k)
Explication
On orthogonalise la famille des monômes (X^k) par Gram-Schmidt pour obtenir des polynômes orthogonaux de degré croissant. La diagonalisation ou les mineurs ne jouent pas ce rôle de construction.
Les polynômes de Legendre
Explication
Le poids constant 1 sur ]-1,1[ caractérise les polynômes de Legendre. Les polynômes de Tchebychev, Laguerre et Hermite correspondent à d'autres intervalles ou d'autres poids.
Les racines carrées des valeurs propres non nulles de M^TM
Explication
Les valeurs singulières sont, par définition, les racines carrées des valeurs propres non nulles de M^TM. Elles ne sont pas simplement les valeurs propres de M.
Il admet une base orthonormée de vecteurs propres et des valeurs propres réelles
Explication
Un endomorphisme auto-adjoint admet une base orthonormée de vecteurs propres, ce qui entraîne sa diagonalisabilité, et ses valeurs propres sont réelles. Il n'est ni forcément nilpotent ni limité à la valeur propre 1.
M^T M = I_n
Explication
Une matrice orthogonale vérifie M^T M = I_n, ce qui équivaut à M^{-1} = M^T. Le déterminant vaut bien ±1, mais ce n'est pas la définition.
Elle appartient à SO(E)
Explication
Une isométrie positive est une isométrie de déterminant 1, donc un élément de SO(E). Une isométrie de déterminant -1 est au contraire négative.
Une famille de sous-ensembles non vides, deux à deux disjoints, dont l'union est l'ensemble entier
Explication
Une partition découpe l'ensemble en blocs non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion redonne tout l'ensemble. Le chevauchement est donc exclu.
Lorsqu'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels
Explication
Un ensemble dénombrable est, par définition, en bijection avec ℕ. Le fait d'être fini ou d'avoir deux éléments n'exprime pas la notion générale de dénombrabilité.
Au plus grand ordre d'un mineur non nul
Explication
Le rang est égal à la taille maximale d'un mineur non nul. Les nombres de lignes ou colonnes non nulles ne suffisent pas en général à le déterminer.
M^{-1} = (1/det(M)) (com(M))^T
Explication
Pour une matrice inversible, on a bien M^{-1} = (1/det(M)) (com(M))^T. C'est la formule classique reliant l'inverse, le déterminant et la comatrice.
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Sous-espace stable — définition ?
Invariance par u : u(A)⊂A.
Valeur propre — rôle ?
Caractère spectral de u.
Vecteur propre — relation ?
u(x)=λx, x≠0.
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