Fiche de révision : Cours sur la diagonalisation et la décomposition des endomorphismes

📋 Plan du Cours

1. Sous-espaces stables et vecteurs propres
2. Polynôme caractéristique et diagonalisation
3. Trigonalisation et polynôme minimal
4. Décomposition de Jordan
5. Formes bilinéaires et quadratiques
6. Produit scalaire et polynômes orthogonaux
7. Endomorphismes auto-adjoints et SVD
8. Isométries vectorielles et groupe orthogonal
9. Outils d'algèbre et de dénombrement
10. Matrices, rang et mineurs

📖 1. Sous-espaces stables et vecteurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace stable : Un sous-espace A est stable par un endomorphisme u lorsque l’image de tout vecteur de A par u reste dans A.
• Sous-espace cyclique : Le sous-espace cyclique Eu(x) est le plus petit sous-espace stable par u qui contient le vecteur x.
• Valeur propre : Une valeur propre λ de u est un scalaire pour lequel il existe un vecteur non nul x vérifiant u(x)=λx.
• Vecteur propre : Un vecteur propre associé à λ est un vecteur non nul x satisfaisant u(x)=λx.
• Sous-espace propre : Pour une valeur propre λ, le sous-espace propre Eλ=ker(u−λ idE) est l’ensemble des vecteurs vérifiant u(x)=λx et il est stable par u.

📝 Points essentiels

• Si A est stable par u, alors la restriction u|A définit un endomorphisme de A appelé endomorphisme induit sur A.
• Si u et v commutent (u∘v=v∘u), alors v stabilise Im(u), ker(u) et plus généralement ker(u−λ idE) pour tout scalaire λ.
• Un scalaire λ est une valeur propre de u si et seulement si u−λ idE n’est pas injectif, ce qui équivaut à ker(u−λ idE) ≠ {0E}.
• Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes sont en somme directe.
• Dans un espace de dimension n finie, un endomorphisme possède au plus n valeurs propres distinctes.
• Un vecteur propre x associé à λ donne, pour tout entier k≥0, uk(x)=λ^k x, donc tout polynôme P vérifie P(u)(x)=P(λ)x.

💡 Astuce mémo

Stable = fermé par u (u(A)⊂A) ; propre = noyau u−λid (u(x)=λx).

📖 2. Polynôme caractéristique et diagonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme u est le polynôme χu(X)=det(XIdE−u), dont les zéros donnent les valeurs propres de u.
• Ordre de multiplicité algébrique : L’ordre de multiplicité algébrique d’une valeur propre λ est sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique χu.
• Endomorphisme diagonalisable : Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.

📝 Points essentiels

• λ est une valeur propre de u si et seulement si χu(λ)=0, via χu(X)=det(XIdE−u).
• Si λ est valeur propre d’ordre de multiplicité algébrique mλ, alors 1≤dim(Eλ)≤mλ.
• Une matrice (ou u) est diagonalisable si et seulement si χu est scindé sur K et, pour chaque valeur propre λ, dim(Eλ)=mλ.
• Si u est diagonalisable, alors E est somme directe des sous-espaces propres Eλ correspondants.
• Si u est diagonalisable, une base de diagonalisation fournit une factorisation M=PDP−1 avec D diagonale contenant les valeurs propres.
• Deux endomorphismes diagonalisables sont codiagonalisables (dans une même base) si et seulement s’ils commutent.

💡 Astuce mémo

Diagonalisable ⇔ χu scindé et mλ = dim Eλ : la multiplicité « algébrique » doit égaler la multiplicité « géométrique ».

📖 3. Trigonalisation et polynôme minimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme trigonalisable : Un endomorphisme est trigonalisable s’il existe une base où sa matrice est triangulaire supérieure.
• Polynôme caractéristique scindé : Un endomorphisme a un polynôme caractéristique scindé lorsque ce polynôme se factorise en produit de facteurs linéaires sur le corps considéré.
• Polynôme minimal : Le polynôme minimal d’un endomorphisme est un polynôme annulateur unitaire de degré minimal, unique et diviseur de tout polynôme annulateur.
• Polynôme annulateur : Un polynôme est annulateur d’un endomorphisme u lorsque le polynôme d’endomorphisme correspondant P(u) est nul.

📝 Points essentiels

• Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps K.
• Tout endomorphisme sur un espace complexe est trigonalisable car tout polynôme complexe est scindé (théorème de d’Alembert–Gauss).
• Le polynôme minimal μu est unique, unitaire, de plus petit degré parmi les polynômes annulateurs, et il divise tout polynôme annulateur de u.
• Les racines du polynôme minimal de u sont exactement les valeurs propres de u.
• Si χu(X)=∏{i=1}^p (X-λ_i)^{m{λ_i}} avec λ_i distinctes, alors μu(X)=∏{i=1}^p (X-λ_i)^{ℓ{λ_i}} avec 1≤ℓ_{λ_i}≤m_{λ_i}.
• Si χu est scindé sur K, alors u est diagonalisable si et seulement si μu est scindé à racines simples.

💡 Astuce mémo

Caractéristique scindée ⇒ triangle; minimal en racines simples ⇒ diagonale.

📖 4. Décomposition de Jordan

🔑 Notions clés & Définitions

• Bloc de Jordan nilpotent : Bloc de Jordan associé à la valeur propre 0 décrivant un comportement nilpotent avec une taille fixée.
• Réduction de Jordan : Forme normale de Jordan d’un endomorphisme lorsque le polynôme caractéristique est scindé, obtenue par une base adaptée en concaténant des bases sur les sous-espaces caractéristiques.
• Invariants de similitude : Quantités attachées à un endomorphisme décrivant, indépendamment des choix de vecteurs, le nombre et les tailles des blocs de Jordan par valeur propre.
• Décomposition de Jordan–Chevalley : Décomposition unique d’un endomorphisme u en somme u=s+n où s est diagonalisable, n nilpotent, et s commute avec n.
• Partie diagonalisable s : Endomorphisme de la décomposition Jordan–Chevalley qui agit comme une homothétie sur chaque sous-espace caractéristique.

📝 Points essentiels

• La réduction de Jordan existe si le polynôme caractéristique de u est scindé sur K, et la matrice obtenue a des blocs dont les scalaires sur la diagonale sont les valeurs propres de u.
• Pour chaque valeur propre λ, l’endomorphisme u restreint au sous-espace caractéristique Nλ s’écrit u|Nλ=λId+ (endomorphisme nilpotent), ce qui permet d’empiler des blocs de Jordan relatifs à λ.
• La réduction de Jordan est unique à permutation des blocs près, et les invariants (nombre et tailles de blocs) ne dépendent que de u.
• Pour une valeur propre λ : le nombre de blocs associés à λ vaut dim Nλ, la taille maximale des blocs associés à λ vaut ℓλ (puissance dans le polynôme minimal) et la somme des tailles des blocs vaut mλ (multiplicité algébrique dans le polynôme caractéristique).
• Si M est une matrice et λ une valeur propre scindée, le nombre de blocs associés à λ est aussi dim ker(M−λIn).
• Dans la décomposition Jordan–Chevalley u=s+n, on a s diagonalisable, n nilpotent, n∘s=s∘n, et u est diagonalisable si et seulement si n=0.

💡 Astuce mémo

Pour une valeur propre λ : Nb blocs = dim Nλ ; Plus grand bloc = ℓλ (polynôme minimal) ; Somme des tailles = mλ (polynôme caractéristique) ; et u = s+n avec s=sémisimple, n=nilpotent.

📖 5. Formes bilinéaires et quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme bilinéaire : Une forme bilinéaire est une application bilinéaire de $E\times E$ dans $K$, donc bilinéaire en chacune des deux variables.
• Symétrie bilinéaire : Une forme bilinéaire symétrique vérifie $b(x,y)=b(y,x)$ pour tous $x,y$, tandis qu’elle est antisymétrique si $b(x,y)=-b(y,x)$.
• Matrice d’une forme bilinéaire : La matrice d’une forme bilinéaire $b$ relativement à deux bases de $E$ et $F$ encode l’application partielle et sert à calculer $b(x,y)$ à partir des coordonnées.
• Forme quadratique : Une forme quadratique est une application $q:E\to K$ obtenue en posant $q(x)=b(x,x)$ pour une forme bilinéaire $b$ sur $E\times E$.

📝 Points essentiels

• Une application bilinéaire est linéaire en chaque variable séparément, et l’ensemble $L(E,F;G)$ des applications bilinéaires est un espace vectoriel sur $K$.
• La forme bilinéaire $b$ est symétrique (resp. antisymétrique) exactement quand $b(x,y)=b(y,x)$ (resp. $b(x,y)=-b(y,x)$) pour tout $x,y\in E$.
• Si $B$ et $C$ sont des bases et $M$ la matrice de $b$ relativement à $B$ et $C$, alors $b(x,y)=\big(\mathrm{Mat}_B(x)\big)^\top M\,\mathrm{Mat}_C(y)$.
• La matrice de $b$ relativement à $B$ est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si $b$ est symétrique (resp. antisymétrique).
• La non-dégénérescence à gauche (resp. à droite) équivaut à l’injectivité de $L(b)$ (resp. $R(b)$), et si $\dim E=\dim F$ alors les non-dégénérescences à gauche et à droite sont équivalentes.
• Si la caractéristique de $K$ est différente de $2$, toute forme quadratique $q$ admet une unique forme bilinéaire symétrique polaire $c$, donnée par $c(x,y)=\tfrac14\big(q(x+y)-q(x-y)\big)$.

💡 Astuce mémo

Polarisation : pour $\mathrm{car}(K)\neq 2$, lis $c(x,y)$ avec $q(x+y)$ et $q(x-y)$ via $\tfrac14$. (Carrés à la place de $b(x,x)$.)

📖 6. Produit scalaire et polynômes orthogonaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Un produit scalaire est une application E×E→R bilinéaire, symétrique, non dégénérée et positive.
• Poids : Un poids est une fonction continue strictement positive utilisée pour pondérer l’intégrale qui définit le produit scalaire des polynômes.
• Polynômes orthogonaux : Les polynômes orthogonaux sont une suite de polynômes deux à deux orthogonaux construits par orthonormalisation dans l’espace des polynômes.

📝 Points essentiels

• Dans un espace réel E, le produit scalaire est bilinéaire, symétrique, non dégénéré et positif, ce qui rend <x,x>≥0 pour tout x∈E.
• Sur E=R[X] avec un poids w sur ]a,b[, on définit <P,Q>=∫_a^b P(t)Q(t)w(t)dt pour (P,Q)∈E².
• En appliquant Gram–Schmidt à (X^k){k∈N}, on obtient une suite unique (Pk){k∈N} telle que deg(Pk)=k et que les polynômes soient deux à deux orthogonaux.
• Les familles classiques dépendent de (a,b,w) : Legendre pour ]-1,1[, w(x)=1 ; Tchebychev (1re espèce) pour ]-1,1[, w(x)=1/√(1-x^2) ; Jacobi pour ]-1,1[, w(x)=(1-x)^α(1+x)^β avec α>-1 et β>-1 ; Laguerre pour [0,+∞[, w(x)=e^{-x} ; Hermite pour (-∞,+∞), w(x)=e^{-x^2}.
• La normalisation des polynômes orthogonaux n’est pas unique : on peut imposer par exemple une valeur en un point ou le coefficient dominant (par ex. Laguerre de degré n a un coefficient dominant (−1)^n n!).

💡 Astuce mémo

Gram–Schmidt = “orthogonaliser” (X^k) pour fabriquer Pk : même degré k et orthogonalité deux à deux via le poids dans l’intégrale.

📖 7. Endomorphismes auto-adjoints et SVD

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme auto-adjoint : Un endomorphisme auto-adjoint est un endomorphisme u vérifiant la relation de l’adjoint u* = u pour le produit scalaire de l’espace.
• Décomposition spectrale : La décomposition spectrale est le fait qu’un auto-adjoint admet une base orthonormée de vecteurs propres et une représentation diagonale dans cette base.
• Décomposition en valeurs singulières : La décomposition en valeurs singulières (SVD) écrit une matrice M comme UΣV^T (réel) ou UΣV* (complexe) avec U et V orthogonales/unitaires et Σ diagonale rectangulaire.
• Valeurs singulières : Les valeurs singulières d’une matrice M sont les réels σ1≥…≥σr>0 qui apparaissent dans Σ et valent les racines carrées des valeurs propres non nulles de M^TM (ou MM*).

📝 Points essentiels

• Un auto-adjoint a un polynôme caractéristique scindé et ses valeurs propres sont réelles, avec des sous-espaces propres deux à deux orthogonaux.
• Il existe une base orthonormale de vecteurs propres pour un auto-adjoint, donc l’endomorphisme est diagonalisable.
• Une matrice réelle symétrique (resp. complexe hermitienne) est diagonalisable par conjugaison orthogonale (resp. unitaire) en une matrice réelle diagonale.
• Si M ∈ Mm,n(R) est de rang r, il existe U (m×m orthogonale), V (n×n orthogonale) et Σ (m×n par blocs) tels que M=UΣV^T avec Σ contenant σ1≥…≥σr>0.
• Les σi sont les racines carrées des valeurs propres strictement positives de M^TM ou MM^T, et r est le nombre de σi non nuls.
• Le rang de M est égal au nombre de valeurs singulières non nulles, donc au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale de Σ.

💡 Astuce mémo

Auto-adjoint: orthogonalité des vecteurs propres; SVD: σ = racines des valeurs propres de M^TM; rang = nombre de σ non nuls.

📖 8. Isométries vectorielles et groupe orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe orthogonal : Le groupe orthogonal regroupe les isométries vectorielles d’un espace euclidien et forme un sous-groupe du groupe linéaire via la composition.
• Matrice orthogonale : Une matrice orthogonale est une matrice réelle $M$ telle que $M^{\top}M=I_n$ (et donc $M^{-1}=M^{\top}$), représentant une isométrie dans une base orthonormée.
• Groupe spécial orthogonal : Le groupe spécial orthogonal $SO(E)$ (ou $SO(n,\mathbb R)$) est l’ensemble des isométries (ou matrices orthogonales) de déterminant $1$.
• Isométries positives et négatives : On dit qu’une isométrie est positive si elle appartient à $SO(E)$ et négative si elle appartient à $O^{-}(E)$, selon le signe de son déterminant.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des isométries vectorielles $O(E)$ est un sous-groupe de $GL(E)$, car il est non vide (contient $id_E$), stable par composition et que la réciproque d’une isométrie est encore une isométrie.
• Une matrice $M\in O(n,\mathbb R)$ vérifie $M^{\top}M=I_n$ et son inverse est $M^{-1}=M^{\top}$.
• Pour toute $M\in O(n,\mathbb R)$, on a $\det(M)=\pm 1$, ce qui implique que toute isométrie $u$ d’un espace euclidien vérifie aussi $\det(u)=\pm 1$.
• Les ensembles $SO(E)$ et $O^{-}(E)=O(E)\setminus SO(E)$ correspondent respectivement aux isométries de déterminant $1$ et $-1$.
• Dans une matrice orthogonale d’ordre $n$, les colonnes (et les lignes) forment une base orthonormale de $M_{n,1}(\mathbb R)$ (et de $M_{1,n}(\mathbb R)$).
• Toute isométrie $u$ d’un espace euclidien de dimension $n$ se met sous forme diagonale par blocs avec des blocs $I_p$, $-I_q$ et des blocs de rotation $\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\\ \sin\theta_i&\cos\theta_i\end{pmatrix}$, avec $p+q+2r=n$.

💡 Astuce mémo

Déterminant signe = orientation : $\det(u)=1$ (positive) préserve l’orientation, $\det(u)=-1$ (négative) la renverse.

📖 9. Outils d'algèbre et de dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition d'un ensemble : Une partition d’un ensemble est une famille de sous-ensembles non vides deux à deux disjoints dont l’union vaut tout l’ensemble.
• Équipotence : Deux ensembles sont équipotents lorsqu’il existe une bijection entre eux, donc ils ont la même taille au sens du dénombrement.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble est dénombrable s’il est équipotent à l’ensemble des entiers naturels.
• Cardinal d’un ensemble fini : Le cardinal d’un ensemble fini est l’entier $n$ tel que l’ensemble soit équipotent à $obreak\{1,\dots,n\}$ (et vaut $0$ pour l’ensemble vide).

📝 Points essentiels

• Pour une partition P d’un ensemble E, chaque élément x de E appartient à un unique bloc A de P.
• Un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre cet ensemble et $\mathbb N$.
• Si E est fini et card(E)=card(A), alors A=E.
• Pour une matrice d’isométrie vectorielle, on peut choisir une base orthonormée où la matrice est bloc-diagonale avec des blocs $\pm I_p$, $\pm I_q$ et des blocs de rotation $R_i$ de taille 2, tels que $p+q+2r=n$.
• On a $p=\dim(\ker(u-\mathrm{id}_E))$ et $q=\dim(\ker(u+\mathrm{id}_E))$, et $u\in SO(E)$ (resp. $O^{-}(E)$) si et seulement si $q$ est pair (resp. impair).

💡 Astuce mémo

Bloc-diagonal : $\;p\;|\;q\;|\;2r\Rightarrow n$, et l’orientation dépend seulement de la parité de $q$ (pair pour $SO(E$, impair pour $O^{-}(E)$).

📖 10. Matrices, rang et mineurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Mineur d’ordre p : Un mineur d’ordre p d’une matrice est le déterminant d’une sous-matrice carrée obtenue en conservant p lignes et p colonnes.
• Mineur principal : Un mineur principal est un mineur obtenu à partir des mêmes indices de lignes et de colonnes, c’est-à-dire avec I égal à J.
• Matrice des cofacteurs : La matrice des cofacteurs regroupe, en position (i,j), le cofacteur associé à l’élément m_{ij} de la matrice considérée.
• Rang d’une matrice : Le rang d’une matrice est la dimension de son image, c’est-à-dire la dimension de l’espace engendré par ses colonnes vues comme vecteurs.

📝 Points essentiels

• Le rang d’une matrice est égal au plus grand ordre d’un mineur non nul de cette matrice.
• Le rang vérifie aussi rang(M)=rang(M^⊤) et rang(M)=rang(M^*).
• Un cofacteur cofi,j(M) vaut (−1)^{i+j} fois le mineur d’ordre n−1 obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne.
• La comatrice com(M) est la matrice dont les entrées sont tous les cofacteurs cofi,j(M), rangée par rangée en (i,j).
• Si M est inversible, on a la formule M^{-1}=(1/det(M)) (com(M))^⊤.

💡 Astuce mémo

Rang = taille maximale d’un mineur non nul : plus grand mineur ≠ 0 ⇔ rang(M).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Diagonalisable vs trigonalisable (conditions)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « stable par u » avec « invariant par u » au sens de u(A)⊂A, et oublier que c’est une condition sur l’image des vecteurs de A.
2. Croire que si χu est scindé alors u est automatiquement diagonalisable : il faut encore dim(Eλ)=mλ (multiplicité géométrique = multiplicité algébrique).
3. Se tromper entre valeur propre et racine : un λ est valeur propre ⇔ χu(λ)=0, mais une racine d’un polynôme annulateur n’est pas forcément une valeur propre.
4. Prendre l’ordre de multiplicité algébrique mλ pour la taille maximale d’un bloc de Jordan : la taille maximale vaut ℓλ (multiplicité dans le polynôme minimal).
5. Penser que la somme des sous-espaces propres Eλi est une somme directe sans demander des valeurs propres distinctes : la somme directe est garantie pour λi deux à deux distinctes.
6. Oublier le lien trigonalisation/diagonalisation–Jordan–Chevalley : un endomorphisme trigonalisable n’est pas forcément diagonalisable (partie nilpotente n peut être non nulle).
7. Pour les formes quadratiques, confondre forme quadratique q avec la forme bilinéaire polaire c ; quand car(K)≠2, la polarisation implique les formules avec 1/4 et 1/2.

✅ Checklist Examen

1. Identifier et utiliser la définition de sous-espace stable : vérifier que u(A)⊂A et en déduire l’endomorphisme induit u|A.
2. Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres via équivalences : λ valeur propre ⇔ ker(u−λidE)≠{0E} ⇔ χu(λ)=0 (dim finie).
3. Préciser les ordres de multiplicité : mλ dans χu et dim(Eλ) ; conclure à la diagonalisabilité avec χu scindé et dim(Eλ)=mλ pour chaque λ.
4. Passer de trigonalisable à diagonalisable : utiliser le fait que u trigonalisable ⇔ χu scindé sur K, sans exiger l’égalité dim(Eλ)=mλ.
5. Construire ou exploiter des polynômes annulateurs : utiliser que P(u)=0 pour une valeur propre x impose P(λ)=0, et rappeler Cayley-Hamilton χu(u)=0.
6. Déterminer le polynôme minimal μu : l’unicité unitaire de degré minimal qui divise tout polynôme annulateur ; utiliser aussi que ses racines sont exactement les valeurs propres.
7. Raisonner en réduction de Jordan : pour chaque λ, lire/relier le nombre de blocs à dim(Nλ), la taille maximale à ℓλ, et la somme des tailles à mλ ; relier les blocs à ker(M−λIn).
8. Décrire la décomposition Jordan–Chevalley u=s+n : s diagonalisable, n nilpotent, s et n commutent, et u diagonalisable ⇔ n=0.
9. Travail sur formes bilinéaires/quadratiques : écrire la matrice de b et calculer b(x,y) ; pour car(K)≠2, utiliser la polarisation (formules 1/4 et 1/2) pour retrouver la forme polaire.
10. Utiliser la partie euclidienne : définir produit scalaire (symétrique, non dégénéré, positif) et orthogonalité ; pour auto-adjoint, conclure diagonalisabilité avec base orthonormée et valeurs propres réelles.
11. Appliquer SVD : décrire M=UΣV^T (ou UΣV*), interpréter σi comme racines des valeurs propres non nulles de M^T M (ou MM*), et conclure rang(M) = nombre de σi non nuls.
12. Connaître la structure des isométries : matrices orthogonales (M^T M=I) et groupes O(E), SO(E) ; donner la forme par blocs avec I_p, −I_q et rotations 2×2, et relier la déterminant/orientation à p+q+2r=n et la parité de q pour SO/O−.