a est un multiple de b
Explication
L’écriture b|a signifie qu’il existe un entier q tel que a=bq, donc a est un multiple de b. La relation inverse correspondrait à a|b.
b divise a^k pour tout entier naturel k non nul
Explication
Si b|a, alors b divise aussi a^k pour tout entier naturel k non nul. C’est une propriété directe de la divisibilité.
a=bq+r avec 0≤r<|b|
Explication
La division euclidienne s’écrit a=bq+r avec 0≤r<|b|, où q est le quotient et r le reste. Cette condition sur r garantit l’unicité.
q=E(a/b)
Explication
Lorsque b est positif, le quotient de la division euclidienne est la partie entière de a/b. Les autres expressions concernent d’autres cas ou sont incorrectes.
n divise a−b
Explication
On a a ≡ b (mod n) si et seulement si n divise a−b. Cela exprime que a et b diffèrent d’un multiple de n.
Le reste de la division euclidienne de a par n
Explication
Le nombre r est l’unique reste modulo n, donc le reste de la division euclidienne de a par n. Il appartient à l’intervalle {0,…,n−1}.
Lorsque p est premier et p ne divise pas a
Explication
Le petit théorème de Fermat s’applique quand p est premier et que p ne divise pas a. Dans ce cas, a^{p−1} ≡ 1 (mod p).
a^p ≡ a (mod p)
Explication
Pour p premier, on a pour tout a ∈ N : a^p ≡ a (mod p). C’est le corollaire direct du petit théorème de Fermat.
pgcd(a,b)=pgcd(b,r)
Explication
Dans l’algorithme d’Euclide, on remplace le couple (a,b) par (b,r) sans changer le pgcd. C’est la propriété clé de la méthode.
C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes
Explication
Le pgcd est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des divisions euclidiennes. Les quotients ne donnent pas directement le pgcd.
Il admet exactement deux diviseurs naturels distincts
Explication
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs naturels distincts : 1 et lui-même. Cette définition exclut notamment 1.
Il possède un diviseur premier p avec p≤√n
Explication
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que p≤√n. Cela sert de critère pour tester la primalité.
Lorsque leur pgcd vaut 1
Explication
Deux entiers sont premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1. Cette condition exprime l’absence de diviseur commun non trivial.
a divise c
Explication
Le lemme de Gauss dit que si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. C’est un outil fondamental de divisibilité.
(a∨b)(a∧b)=|ab|
Explication
Le cours donne la relation (a∨b)(a∧b)=|ab|, où ∨ désigne le ppcm et ∧ le pgcd. C’est une identité classique reliant les deux notions.
Lorsque pgcd(a,b)=1 et b≥2
Explication
Si pgcd(a,b)=1 et b≥2, alors a admet un unique inverse modulo b dans {1,…,b−1}. L’existence dépend donc de l’être premier entre eux.
Lorsque pgcd(a,b) divise c
Explication
Une équation diophantienne ax+by=c admet des solutions dans Z^2 si et seulement si pgcd(a,b) divise c. C’est la condition fondamentale d’existence.
D’écrire 1 sous la forme au+bv avec u,v entiers
Explication
Si a et b sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que au+bv=1. Cette écriture est précisément l’identité de Bézout.
Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Cours sur la Théorie des Nombres.
Divisibilité — définition ?
b|a signifie qu'il existe q tel que a=bq.
Multiple d’un entier — définition ?
Un entier a est multiple de b si a=bq pour un q.
Division euclidienne — formule ?
a=bq+r avec 0≤r<|b|.
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