Fiche de révision : Critère de colinéarité et alignement vectoriel

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs colinéaires : définition et convention
2. Déterminant de deux vecteurs en coordonnées
3. Critère de colinéarité par déterminant
4. Démonstration exigible au programme
5. Alignement de points et parallélisme de droites
6. Méthode pour montrer trois points alignés
7. Vecteur et milieu d’un segment

📖 1. Vecteurs colinéaires : définition et convention

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel non nul $k$ tel que le second soit égal à $k$ fois le premier.
• Vecteur nul : Le vecteur nul est considéré comme colinéaire à tout vecteur par convention.

📝 Points essentiels

• La colinéarité concerne deux vecteurs non nuls quand on utilise la relation vec{v}=kvec{u} avec $k\neq 0$.
• Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent avoir des sens et des intensités différents.
• Si vec{v}=kvec{u} avec $k<0$, les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés.
• Si vec{v}=kvec{u} avec $k>0$, les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
• Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs, même si l’égalité avec $k\neq 0$ n’est pas utilisée.
• La colinéarité est une propriété géométrique qui se traduit ensuite par une condition algébrique via le déterminant.

💡 Astuce mémo

Même direction : vec{v}=kvec{u} (le facteur $k$ change sens et taille).

📖 2. Déterminant de deux vecteurs en coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de deux vecteurs : Le déterminant de deux vecteurs en coordonnées est le nombre $x y' - x' y$ calculé à partir de leurs composantes.
• **Base $(\vec{i},\vec{j})** : La base$(\vec{i},\vec{j})$sert à exprimer les vecteurs par leurs coordonnées$(x;y)$et$(x';y')$.

📝 Points essentiels

• Pour vec{u}(x;y) et vec{v}(x';y'), on définit $\det(\u0002vec{u},\u0002vec{v})$ par $\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}$.
• Le déterminant vaut $x\times y' - x'\times y$.
• Le calcul du déterminant dépend uniquement des coordonnées des vecteurs dans la base choisie.
• Le déterminant est noté $\det(\u0002vec{u},\u0002vec{v})$ ou sous forme de matrice $\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}$.
• Le déterminant sert de critère de colinéarité dans la suite du cours.
• La formule $x y' - x' y$ correspond au “croisement” des composantes en diagonale.

💡 Astuce mémo

Déterminant = produit en diagonale moins produit en diagonale : $xy' - x'y$.

📖 3. Critère de colinéarité par déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère par déterminant : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
• **Condition $x y' - x' y = 0** : La colinéarité se traduit en coordonnées par l’égalité$x y' - x' y = 0$.

📝 Points essentiels

• On a l’équivalence : vec{u} et vec{v} colinéaires si et seulement si $\det(\u0002vec{u},\u0002vec{v})=0$.
• En coordonnées, la condition équivalente est $x\times y' - x'\times y = 0$.
• Le critère fonctionne même quand l’un des vecteurs est le vecteur nul, car le déterminant devient alors nul.
• Si $x y' - x' y \neq 0$, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
• Le critère relie directement une propriété géométrique (direction) à un calcul algébrique.
• Le cours insiste sur le “si et seulement si”, donc la condition est nécessaire et suffisante.

💡 Astuce mémo

Colinéaire ⇔ déterminant nul : $xy' - x'y = 0$.

📖 4. Démonstration exigible au programme

🔑 Notions clés & Définitions

• Cas des deux vecteurs non nuls : La démonstration utilise la relation vec{v}=kvec{u} quand les deux vecteurs ne sont pas nuls.
• Cas où un vecteur est nul : La démonstration traite séparément le cas où vec{u} ou vec{v} est le vecteur nul.

📝 Points essentiels

• Sens direct : si vec{v}=kvec{u} avec $k\neq 0$, alors $x'=kx$ et $y'=ky$.
• Dans ce cas, $x y' - x' y = x(ky) - (kx)y = k(xy-xy)=0$.
• Si vec{u}=\vec{0}, alors $x=0$ et $y=0$, donc $x y' - x' y = 0\times y' - 0\times x' = 0$.
• Si vec{v}=\vec{0}, alors $x'=0$ et $y'=0$, donc $x y' - x' y = x\times 0 - 0\times y = 0$.
• Sens réciproque : si $x y' - x' y = 0$ et si $\u0002vec{u}$ et $\u0002vec{v}$ sont non nuls, on choisit une coordonnée non nulle de $\u0002vec{u}$ (par exemple $x\neq 0$).
• On pose alors $k=\frac{x'}{x}$, ce qui force $y'=ky$ et donc $\u0002vec{v}=k\u0002vec{u}$.

💡 Astuce mémo

Preuve en 2 temps : colinéaire ⇒ déterminant 0, puis déterminant 0 ⇒ rapport $k$.

📖 5. Alignement de points et parallélisme de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Alignement de points : Trois points sont alignés si et seulement si les vecteurs issus d’un même point sont colinéaires.
• Parallélisme de droites : Deux droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs correspondants sont colinéaires.

📝 Points essentiels

• Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Le parallélisme des droites $(AB)$ et $(CD)$ équivaut à la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
• Pour tester l’alignement, on compare deux vecteurs construits à partir du même point de départ (ici $A$).
• Pour tester le parallélisme, on compare les vecteurs correspondant aux directions des deux droites (ici $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$).
• La colinéarité utilisée dans ces critères peut ensuite être vérifiée par le déterminant $=0$.
• Ces critères transforment un problème de géométrie (droites/alignement) en problème de vecteurs.

💡 Astuce mémo

Aligné : même direction depuis $A$ ($\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{AC}$). Parallèle : directions comparées ($\overrightarrow{AB}$ // $\overrightarrow{CD}$).

📖 6. Méthode pour montrer trois points alignés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est obtenu en soustrayant les coordonnées de $A$ à celles de $B$.
• Vecteur $\overrightarrow{AC}$ : Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est obtenu en soustrayant les coordonnées de $A$ à celles de $C$.
• Colinéarité par relation de vecteurs : Montrer l’alignement revient à établir que $\overrightarrow{AC}$ est un multiple de $\overrightarrow{AB}$.

📝 Points essentiels

• On calcule d’abord $\overrightarrow{AB}$ à partir des coordonnées de $A$ et $B$.
• On calcule ensuite $\overrightarrow{AC}$ à partir des coordonnées de $A$ et $C$.
• On compare les deux vecteurs pour vérifier qu’ils sont colinéaires.
• Dans l’exemple, $\overrightarrow{AB}=(-3;-2)$ et $\overrightarrow{AC}=(6;4)$.
• Dans l’exemple, on constate que $\overrightarrow{AC}=-2\,\overrightarrow{AB}$, donc les vecteurs sont colinéaires.
• On conclut alors que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

💡 Astuce mémo

Alignement = “même direction” : calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis cherche un facteur $k$.

📖 7. Vecteur et milieu d’un segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu $I$ de $[AB]$ est le point qui partage le segment en deux parties égales et de même direction.
• Vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ : Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ décrivent respectivement le déplacement de $A$ vers $I$ et de $I$ vers $B$.

📝 Points essentiels

• $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.
• $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
• $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
• Les trois égalités sont équivalentes et donnent la même conclusion sur le statut de $I$.
• La condition $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ relie directement le milieu au vecteur total $\overrightarrow{AB}$.
• La condition $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ traduit l’annulation des déplacements successifs.

💡 Astuce mémo

Milieu = moitié : $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}$ (ou somme nulle des vecteurs).

📊 Tableaux de synthèse

Critère de colinéarité : géométrie vs calcul

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la définition : la relation $\u0002vec{v}=k\u0002vec{u}$ est donnée avec $k\neq 0$ pour deux vecteurs non nuls, mais le vecteur nul est colinéaire à tout par convention.
2. Oublier la formule du déterminant : $xy'-x'y$ (et non $xy'+x'y$).
3. Inverser les coordonnées dans le déterminant (prendre $x'y-xy'$) mène à une mauvaise conclusion.
4. Utiliser le critère d’alignement avec les mauvais vecteurs (par exemple $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{CA}$ sans cohérence de départ).
5. Croire que colinéarité implique même sens : $k$ peut être négatif, donc les sens peuvent être opposés.
6. Pour le milieu, confondre $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ avec $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ : l’égalité correcte porte sur $\overrightarrow{IB}$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition de deux vecteurs colinéaires et la convention avec le vecteur nul.
2. Savoir calculer $\det(\u0002vec{u},\u0002vec{v})$ à partir de $\u0002vec{u}(x;y)$ et $\u0002vec{v}(x';y')$.
3. Savoir appliquer le critère : colinéarité ⇔ déterminant nul ⇔ $xy'-x'y=0$.
4. Savoir reproduire l’idée de la démonstration exigible : colinéaire ⇒ déterminant 0, puis déterminant 0 ⇒ existence d’un $k$.
5. Savoir relier alignement de $A,B,C$ à la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
6. Savoir relier parallélisme de $(AB)$ et $(CD)$ à la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
7. Savoir montrer trois points alignés : calcul de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis mise en évidence d’un multiple.
8. Savoir caractériser le milieu $I$ de $[AB]$ par l’une des trois égalités sur les vecteurs (égalité directe, moitié, ou somme nulle).