Fiche de révision : Déformation et comportement élastique

📋 Plan du Cours

1. Cinématique des milieux déformables
2. Déplacement et déformation infinitésimale
3. Rotation et vitesse de déformation
4. Exemples de déformation élémentaire
5. Lois de comportement des matériaux
6. Élasticité linéaire et propriétés matériaux

📖 1. Cinématique des milieux déformables

🔑 Notions clés & Définitions

• Approche lagrangienne : L’approche lagrangienne, adaptée à la mécanique des solides, suit l’évolution temporelle du déplacement des points matériels.
• Approche eulérienne : L’approche eulérienne, adaptée à la mécanique des fluides, analyse le champ des vitesses à l’instant t.

★ À maîtriser

📌 La cinématique décrit position, vitesse et accélération indépendamment des forces qui les engendrent, tandis que la cinématique d’un milieu continu doit aussi prendre en compte sa déformabilité.

📌 Dans un milieu indéformable, la distance entre deux points reste constante au cours du temps, tandis qu’elle peut varier dans un milieu déformable.

Compléments

• La transformation qui associe à chaque point matériel sa position spatiale à l’instant t est bijective : deux points matériels distincts ne peuvent avoir la même position spatiale au même instant.

💡 Astuce mémo

Lagrange suit le déplacement d’un point matériel ; Euler observe le champ des vitesses à l’instant t.

📖 2. Déplacement et déformation infinitésimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur déplacement : Le vecteur déplacement X au point matériel M₀ décrit son déplacement par rapport à la configuration de référence.

★ À maîtriser

• La variation du déplacement entre deux points matériels infiniment voisins permet de caractériser la déformation locale.

📐 Formule - En petites perturbations, le tenseur des déformations vérifie $\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}+\frac{\partial X_j}{\partial x_i}\right)$.

Compléments

• Sous l’hypothèse des petits déplacements, la position actuelle est approximée par la position initiale.

📌 Le déplacement différentiel se décompose en une contribution de rotation et une contribution de déformation, cette dernière étant décrite par le tenseur symétrique ε.

• Pour un solide indéformable, les composantes du tenseur des déformations sont nulles.

📖 3. Rotation et vitesse de déformation

★ À maîtriser

📐 Formule - Les composantes du tenseur des vitesses de déformation sont $D_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right)$.

Compléments

📐 Formule - En deux dimensions, la composante de rotation infinitésimale est $\omega=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_2}{\partial x_1}-\frac{\partial X_1}{\partial x_2}\right)$.

• Pour un solide indéformable, le tenseur des vitesses de déformation D est nul.

📌 Un mouvement irrotationnel a une rotation nulle et se compose de translation et de déformation, tandis qu’un mouvement avec rotation comporte une rotation locale.

📖 4. Exemples de déformation élémentaire

★ À maîtriser

📐 Formule - En traction simple, la déformation longitudinale vérifie $\varepsilon_{11}=\frac{dL}{L}$.

📐 Formule - En cisaillement simple, la déformation angulaire est liée à l’angle de glissement α par $\varepsilon_{12}=\varepsilon_{21}=\frac{\alpha}{2}$.

Compléments

• En traction simple, une poutre de section S est sollicitée par une force F suivant e₁ sur la face de normale e₁, tandis que la face opposée est encastrée.

• En cisaillement simple, la force est appliquée suivant e₁ sur une face de normale e₂ et la face de normale −e₁ est encastrée.

📖 5. Lois de comportement des matériaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de comportement : Une loi de comportement est une relation empirique entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations, ou celui des vitesses de déformation.

★ À maîtriser

📌 Pour un solide, la loi de comportement relie la contrainte à la déformation, tandis que pour un fluide elle relie la contrainte à la vitesse de déformation.

📌 Un solide élastique présente une relation contrainte–déformation linéaire et des déformations réversibles de faible amplitude, tandis qu’un solide plastique présente une relation non linéaire et des déformations irréversibles pouvant être importantes.

Compléments

• Le cours traite la loi de comportement dans le domaine élastique des solides classiques.

📖 6. Élasticité linéaire et propriétés matériaux

★ À maîtriser

📐 Formule - En traction ou compression simple, la loi de Hooke s’écrit $\sigma_1=E\varepsilon_1$.

📐 Formule - Pour un solide élastique isotrope, la relation générale s’écrit $\sigma_{ij}=\lambda\theta\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}$, où θ est la dilatation cubique et δᵢⱼ vaut 1 si i=j et 0 sinon.

Compléments

📐 Formule - En cisaillement simple, la contrainte de cisaillement vérifie $\sigma_{12}=G\alpha=2G\varepsilon_{12}$.

📐 Formule - Les coefficients de Lamé sont reliés au module de Young et au coefficient de Poisson par $\lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$ et $\mu=\frac{E}{2(1+\nu)}$, avec μ égal au module de cisaillement G.

• Le bois peut présenter un comportement non isotrope, de sorte que ses propriétés changent selon la direction de sollicitation.