Fiche de révision : Contraintes et déformations des solides

📋 Plan du Cours

1. Efforts extérieurs et vecteur contrainte
2. Tenseur des contraintes de Cauchy
3. Contraintes principales et invariants
4. Parties sphérique et déviatorique
5. Déplacement et déformation
6. Tenseur des déformations et sens physique
7. Déformation des fluides
8. Élasticité linéaire et loi de Hooke
9. Loi élastique isotrope et paramètres

📖 1. Efforts extérieurs et vecteur contrainte

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur contrainte : La densité surfacique de force exercée par le milieu extérieur à travers une facette de frontière.

★ À maîtriser

📌 Les efforts extérieurs sur un domaine continu comprennent les forces volumiques à distance, de densité f(M), et les forces surfaciques de contact exercées à travers sa frontière.

📌 La contrainte normale vaut T·n et correspond à une traction si elle est positive, tandis qu’une valeur négative indique une compression ; la composante tangentielle correspond au cisaillement.

Compléments

• Le vecteur contrainte T dépend du point M et de l’orientation de la facette, définie par la normale n dirigée vers l’extérieur du domaine.

💡 Astuce mémo

Force volumique à distance, force surfacique par contact

📖 2. Tenseur des contraintes de Cauchy

★ À maîtriser

📐 Formule - Le tenseur de Cauchy donne le vecteur contrainte sur une facette par $T(M,n)=\sigma\cdot n$, soit $T_i=\sigma_{ij}n_j$.

• Le tenseur de Cauchy est symétrique, avec $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$, ce qui assure l’équilibre en rotation du petit cube.

Compléments

📌 Les termes diagonaux σ11, σ22 et σ33 sont des contraintes normales, tandis que les termes hors diagonale tels que σ12, σ13 et σ23 sont des contraintes de cisaillement.

• En traction simple, σ11=F/S et tous les autres termes du tenseur des contraintes sont nuls.

• En compression simple, σ11=−F/S.

• En cisaillement simple, seuls les termes σ12 et σ21 sont non nuls.

📖 3. Contraintes principales et invariants

★ À maîtriser

• Les contraintes principales se déterminent en résolvant $\det(\sigma-\lambda I)=0$ ; les valeurs propres obtenues sont les contraintes principales et leurs vecteurs propres sont les directions principales.

📐 Formule - Les invariants du tenseur des contraintes sont $I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=\operatorname{tr}(\sigma)$, $I_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_1\sigma_3+\sigma_2\sigma_3$ et $I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3=\det(\sigma)$.

Compléments

• Dans un repère des directions principales, le tenseur des contraintes est diagonal et ne comporte plus de cisaillement.

📖 4. Parties sphérique et déviatorique

★ À maîtriser

📐 Formule - La décomposition du tenseur des contraintes s’écrit $\sigma=\sigma_m I+\sigma^d$, avec $\sigma_m=\operatorname{tr}(\sigma)/3$.

Compléments

• La partie sphérique σmI est équivalente à un état hydrostatique de pression p = −σm, correspondant à une compression uniforme si σm < 0 et à une traction uniforme si σm > 0.

• La partie déviatorique σᵈ représente le cisaillement et possède les mêmes directions principales que le tenseur σ.

💡 Astuce mémo

Sphérique : compression uniforme ; déviatorique : cisaillement

📖 5. Déplacement et déformation

★ À maîtriser

• La déformation est caractérisée par la variation du déplacement entre points voisins, et non par le déplacement lui-même.

📌 Le gradient du déplacement se décompose en une partie antisymétrique associée à la rotation et une partie symétrique associée à la déformation.

Compléments

• Un déplacement uniforme, correspondant à une translation, ne déforme pas le solide.

• L’étude des déformations présentée se place dans l’hypothèse des petits déplacements (HPP).

📐 Formule - La variation du déplacement entre points voisins s’écrit $dX=(\nabla X)\cdot dx$.

💡 Astuce mémo

Translation uniforme sans déformation ; variation du déplacement avec déformation

📖 6. Tenseur des déformations et sens physique

★ À maîtriser

📐 Formule - Le tenseur des déformations est défini par $\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}+\frac{\partial X_j}{\partial x_i}\right)$ et il est symétrique.

📌 Les termes diagonaux εii représentent l’allongement relatif dans la direction i, tandis que les termes hors diagonale εij représentent la déformation angulaire.

Compléments

• Un solide indéformable vérifie εij=0.

📐 Formule - En traction simple, l’allongement relatif vérifie $\varepsilon_{11}=dl/l$.

📐 Formule - En cisaillement simple, l’angle de glissement vérifie $\alpha=2\varepsilon_{12}$.

📖 7. Déformation des fluides

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un fluide, le tenseur des vitesses de déformation est $D_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right)$.

Compléments

📐 Formule - La rotation du fluide est $\Omega=\frac12\operatorname{rot}V$.

📌 Un mouvement est irrotationnel lorsque $\operatorname{rot}V=0$.

📖 8. Élasticité linéaire et loi de Hooke

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de comportement : La relation entre le tenseur des contraintes σ et le tenseur des déformations ε ; elle est empirique, dépend du matériau et se mesure par des essais de traction.

★ À maîtriser

📌 Dans le modèle étudié, l’élasticité linéaire correspond à des déformations petites et réversibles, tandis que la déformation plastique est non linéaire et irréversible.

📐 Formule - En traction simple, la loi de Hooke s’écrit $\sigma_1=E\varepsilon_1$, où E est le module de Young.

Compléments

📐 Formule - En traction simple, les déformations transversales vérifient $\varepsilon_2=\varepsilon_3=-\nu\varepsilon_1$, où ν est le coefficient de Poisson et la section diminue lorsque le solide est étiré.

📐 Formule - En cisaillement simple, $\sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}=G\alpha$.

📖 9. Loi élastique isotrope et paramètres

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi élastique linéaire isotrope s’écrit $\sigma_{ij}=\lambda\theta\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}$, avec $\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)=\operatorname{div}X$.

Compléments

📐 Formule - La relation inverse s’écrit $\varepsilon_{ij}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}$.

📐 Formule - Les paramètres élastiques vérifient $\mu=G=\frac{E}{2(1+\nu)}$ et $\lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$.