QCM : Contraintes et déformations des solides (19 questions)

Question 1

1. Pour établir le bilan des forces sur un domaine continu, quelle distinction faut-il faire entre les efforts extérieurs ?

Les forces volumiques et surfaciques sont toutes deux des contacts, distingués par la densité utilisée.

Les forces volumiques agissent à travers la frontière, tandis que les forces surfaciques sont des contacts répartis dans le volume.

Les forces volumiques sont des contacts à travers la frontière, tandis que les forces surfaciques agissent à distance dans le domaine.

Les forces volumiques agissent à distance dans le domaine, tandis que les forces surfaciques sont des contacts à travers sa frontière.

Explication

Les efforts extérieurs comprennent les forces volumiques à distance, décrites par une densité comme $f(M)$ , et les forces surfaciques de contact exercées à travers la frontière. Confondre les forces volumiques avec les forces de contact ou inverser leur lieu d’action mélange ces deux catégories.

Answer

Les forces volumiques agissent à distance dans le domaine, tandis que les forces surfaciques sont des contacts à travers sa frontière.

Question 2

2. Une facette de frontière reçoit une force de contact répartie sur sa surface : quelle grandeur représente la force par unité de surface exercée par le milieu extérieur ?

La résultante des forces de contact.

Le vecteur contrainte.

La densité volumique de force.

La normale extérieure à la facette.

Explication

Le vecteur contrainte est la densité surfacique de force exercée par le milieu extérieur à travers une facette de frontière. La densité volumique décrit une force à distance, la résultante est une force totale et la normale indique l’orientation de la facette.

Answer

Le vecteur contrainte.

Question 3

3. Sur une facette, le produit $T\cdot n$ vaut une valeur négative, tandis qu’une composante de $T$ parallèle à la facette est non nulle. Comment interpréter ces deux composantes ?

La composante normale indique un cisaillement et la composante tangentielle correspond à une compression.

La composante normale indique une compression et la composante tangentielle correspond au cisaillement.

La composante normale indique une compression et la composante tangentielle correspond à une traction.

La composante normale indique une traction et la composante tangentielle correspond au cisaillement.

Explication

La contrainte normale est $T\cdot n$ : une valeur négative correspond à une compression, alors qu’une composante tangentielle représente le cisaillement. Interpréter le signe négatif comme une traction inverse la convention, et assimiler la composante tangentielle à une contrainte normale confond les directions.

Answer

La composante normale indique une compression et la composante tangentielle correspond au cisaillement.

Question 4

4. Sur une facette de normale $n=(1,0,0)$ , le tenseur est $\sigma=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Quel vecteur contrainte obtient-on ?

(4,2,0)

(4,2,1)

(4,0,0)

(2,3,0)

Explication

La relation est $T=\sigma\cdot n$ . Pour $n=(1,0,0)$ , la multiplication sélectionne la première colonne du tenseur, soit $(4,2,0)$ ; omettre le terme hors diagonale néglige la composante de cisaillement.

Answer

$$(4,2,0)$$

Question 5

5. Dans un modèle de contraintes, quelle propriété de la matrice de Cauchy assure l’équilibre en rotation d’un petit cube ?

L’égalité des contraintes normales,

\sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}

.

L’annulation des composantes de cisaillement,

\sigma_{ij}=0

pour

i\ne j

.

La diagonalité, qui impose des composantes de cisaillement nulles.

La symétrie des composantes,

\sigma_{ij}=\sigma_{ji}

.

Explication

Le tenseur de Cauchy est symétrique, c’est-à-dire que $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ , et cette propriété assure l’équilibre en rotation du petit cube. La diagonalité et l’annulation du cisaillement sont des conditions plus particulières, tandis que l’égalité des termes diagonaux n’est pas requise.

Answer

La symétrie des composantes, $$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$$.

Question 6

6. Pour un tenseur des contraintes représenté par la matrice $\sigma$ , quelle démarche permet de déterminer ses contraintes et directions principales ?

Résoudre

\det(\sigma-\lambda I)=0

; les valeurs propres donnent les contraintes et les vecteurs propres les directions

Lire les termes diagonaux de

\sigma

; ils donnent les contraintes et les directions principales

Résoudre

\det(\sigma-\lambda I)=0

; les vecteurs propres donnent les contraintes et les valeurs propres les directions

Résoudre

\det(\sigma+\lambda I)=0

; les valeurs propres donnent les contraintes et les vecteurs propres les directions

Explication

L’équation caractéristique $\det(\sigma-\lambda I)=0$ fournit les valeurs propres, qui sont les contraintes principales ; les vecteurs propres associés indiquent les directions principales. Intervertir valeurs propres et vecteurs propres confond contraintes et directions, tandis que le signe plus modifie l’équation caractéristique.

Answer

Résoudre $$\det(\sigma-\lambda I)=0$$ ; les valeurs propres donnent les contraintes et les vecteurs propres les directions

Question 7

7. Un tenseur des contraintes a pour contraintes principales $2$ , $-1$ et $4$ MPa. Quelle est la valeur de son invariant $I_2$ ?

I_2=2\times(-1)+2\times4+(-1)\times4=2\;\text{MPa}^2

I_2=2+(-1)+4=5\;\text{MPa}

I_2=2\times4=8\;\text{MPa}^2

I_2=2\times(-1)\times4=-8\;\text{MPa}^3

Explication

L’invariant $I_2$ est la somme des produits deux à deux des contraintes principales : $-2+8-4=2\;\text{MPa}^2$ . La somme simple correspond à $I_1$ , omettre un produit néglige une paire et le produit des trois contraintes correspond à $I_3$ .

Answer

$$I_2=2\times(-1)+2\times4+(-1)\times4=2\;\text{MPa}^2$$

Question 8

8. Pour un tenseur des contraintes $\sigma$ de trace $12\;\text{MPa}$ , quelle décomposition utilise la contrainte moyenne correcte ?

\sigma=4\,I+\sigma^d

, avec

\sigma^d=\sigma-4I

\sigma=\det(\sigma)\,I+\sigma^d

, avec

\sigma^d=\sigma-\det(\sigma)I

\sigma=\sigma^d-4I

, avec

\sigma^d=\sigma+4I

\sigma=12\,I+\sigma^d

, avec

\sigma^d=\sigma-12I

Explication

La contrainte moyenne vaut $\sigma_m=\operatorname{tr}(\sigma)/3=12/3=4\;\text{MPa}$ , et la décomposition s’écrit $\sigma=\sigma_m I+\sigma^d$ . Employer la trace entière omet la division par trois ; le déterminant est un autre invariant, et le signe de l’addition est inversé dans la dernière expression.

Answer

$$\sigma=4\,I+\sigma^d$$, avec $$\sigma^d=\sigma-4I$$

Question 9

9. Lorsqu’on décompose un tenseur des contraintes en parties sphérique et déviatorique, quelle caractéristique s’applique à la partie déviatorique ?

Elle représente le cisaillement et possède des valeurs principales différentes de celles de

\sigma

Elle représente la compression uniforme et conserve les directions principales de

\sigma

Elle représente la pression hydrostatique et possède les directions principales de

\sigma^d

Elle représente le cisaillement et conserve les directions principales de

\sigma

Explication

La partie déviatorique représente le cisaillement et possède les mêmes directions principales que le tenseur des contraintes $\sigma$ . La compression uniforme caractérise la partie sphérique, tandis que l’égalité des directions principales ne signifie pas que les valeurs principales sont identiques.

Answer

Elle représente le cisaillement et conserve les directions principales de $$\sigma$$

Question 10

10. Deux points voisins d’un solide subissent le même déplacement. Quel effet cette situation a-t-elle sur la déformation du solide ?

Elle produit une déformation uniforme, car les deux points se déplacent.

Elle ne produit pas de déformation, car le déplacement ne varie pas entre les points.

Elle produit une rotation, car les deux points changent de position.

Elle annule la déformation, car aucun point ne se déplace.

Explication

La déformation dépend de la variation du déplacement entre points voisins, et non du déplacement lui-même. Assimiler le mouvement commun à une déformation confond translation et déformation ; le déplacement identique ne caractérise pas une rotation ni l’absence de déplacement.

Answer

Elle ne produit pas de déformation, car le déplacement ne varie pas entre les points.

Question 11

11. Dans un petit élément de solide, le gradient du déplacement comporte une partie antisymétrique et une partie symétrique. Quelle interprétation leur associer ?

La partie symétrique décrit la rotation et la déformation, tandis que l’autre n’a pas d’effet.

La partie antisymétrique décrit la rotation, et la partie symétrique décrit la déformation.

La partie antisymétrique décrit la translation, et la partie symétrique décrit la rotation.

La partie symétrique décrit la rotation, et la partie antisymétrique décrit la déformation.

Explication

La décomposition du gradient associe sa partie antisymétrique à la rotation et sa partie symétrique à la déformation. Inverser ces associations confond les deux contributions ; attribuer les deux à une seule partie ou assimiler la partie antisymétrique à une translation méconnaît cette décomposition.

Answer

La partie antisymétrique décrit la rotation, et la partie symétrique décrit la déformation.

Question 12

12. Pour un champ de déplacement local, quelle expression permet de calculer la composante $\varepsilon_{12}$ du tenseur des déformations ?

\frac{\partial X_1}{\partial x_2}

\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_1}{\partial x_2}-\frac{\partial X_2}{\partial x_1}\right)

\frac{\partial X_1}{\partial x_2}+\frac{\partial X_2}{\partial x_1}

\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_1}{\partial x_2}+\frac{\partial X_2}{\partial x_1}\right)

Explication

La composante du tenseur est la demi-somme des dérivées croisées, conformément à sa définition symétrique. Omettre le facteur $\frac{1}{2}$ donne une somme non moyennée ; utiliser une différence correspond à la contribution de rotation, et une seule dérivée ne respecte pas la définition.

Answer

$$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial X_1}{\partial x_2}+\frac{\partial X_2}{\partial x_1}\right)$$

Question 13

13. Un élément de solide subit une déformation décrite par $\varepsilon_{11}$ et $\varepsilon_{12}$ . Quelle interprétation physique correspond à ces deux composantes ?

\varepsilon_{11}

mesure une déformation angulaire, et

\varepsilon_{12}

un allongement relatif.

\varepsilon_{11}

mesure un allongement relatif, et

\varepsilon_{12}

une déformation angulaire.

Les deux composantes mesurent des déformations angulaires entre des directions distinctes.

Les deux composantes mesurent des allongements relatifs dans des directions distinctes.

Explication

Les termes diagonaux $\varepsilon_{ii}$ représentent l’allongement relatif dans la direction correspondante, tandis que les termes hors diagonale représentent la déformation angulaire. Intervertir ces rôles, ou attribuer à toutes les composantes une seule interprétation, confond la signification des deux types de termes.

Answer

$$\varepsilon_{11}$$ mesure un allongement relatif, et $$\varepsilon_{12}$$ une déformation angulaire.

Question 14

14. Dans un fluide, le champ de vitesse vaut $V_1=ay$ et $V_2=bx$ . Quelle expression donne la composante $D_{12}$ du tenseur des vitesses de déformation ?

\frac{a+b}{2}

\frac{1}{2}\left(\frac{\partial V_1}{\partial x}+\frac{\partial V_2}{\partial y}\right)

\frac{a-b}{2}

a+b

Explication

La composante symétrique hors diagonale est la demi-somme des dérivées croisées, soit $D_{12}=\frac12(a+b)$ . $a+b$ oublie le facteur un demi, $\frac{a-b}{2}$ soustrait les dérivées, et l’expression avec les dérivées diagonales ne cible pas cette composante.

Answer

$$\frac{a+b}{2}$$

Question 15

15. Un écoulement possède un champ de vitesse dont le rotationnel est nul dans toute la région étudiée. Comment qualifie-t-on ce mouvement ?

Un mouvement incompressible

Un mouvement irrotationnel

Un mouvement uniforme

Un mouvement sans déformation

Explication

Un mouvement est irrotationnel lorsque $\operatorname{rot}V=0$ . L’absence de déformation, l’incompressibilité liée à la divergence et l’uniformité de la vitesse sont des propriétés distinctes.

Answer

Un mouvement irrotationnel

Question 16

16. Après avoir retiré une charge, un solide retrouve sa forme initiale après une petite déformation. Quel modèle décrit le mieux cette réponse ?

Une déformation plastique non linéaire

Une déformation plastique réversible

Une élasticité linéaire à grandes déformations

Une élasticité linéaire à petites déformations

Explication

Le modèle élastique linéaire étudié correspond à des déformations petites et réversibles. La plasticité est non linéaire et irréversible, tandis que les grandes déformations ne satisfont pas l’hypothèse de petites déformations.

Answer

Une élasticité linéaire à petites déformations

Question 17

17. Une barre soumise à une traction simple présente une déformation longitudinale $\varepsilon_1=0{,}002$ et un module de Young $E=200\,\text{GPa}$ . Quelle contrainte longitudinale prédit la loi de Hooke ?

400\,\text{MPa}

4\,\text{MPa}

0{,}01\,\text{MPa}

400\,\text{GPa}

Explication

En traction simple, $\sigma_1=E\varepsilon_1$ ; ainsi $200\,\text{GPa}\times0{,}002=0{,}4\,\text{GPa}=400\,\text{MPa}$ . Diviser par $E$ inverse la relation, et les autres valeurs résultent d’erreurs de conversion ou d’échelle.

Answer

$$400\,\text{MPa}$$

Question 18

18. Dans un solide soumis à une petite déformation isotrope, on connaît le tenseur des déformations ε. Quelle expression permet de déterminer la contrainte σij à partir de εij et de sa trace θ ?

\sigma_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}

, avec

\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)

\sigma_{ij}=\lambda\theta\delta_{ij}+\mu\varepsilon_{ij}

, avec

\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)

\sigma_{ij}=2\lambda\theta\delta_{ij}+\mu\varepsilon_{ij}

, avec

\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)

\sigma_{ij}=\lambda\theta\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}

, avec

\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)

Explication

La loi isotrope combine un terme lié à la trace, $\lambda\theta\delta_{ij}$ , et un terme proportionnel à la déformation, $2\mu\varepsilon_{ij}$ . L’expression sans terme de dilatation l’omet, celle qui échange les coefficients les confond, et celle sans facteur 2 oublie le facteur du terme associé à μ.

Answer

$$\sigma_{ij}=\lambda\theta\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}$$, avec $$\theta=\operatorname{tr}(\varepsilon)$$

Question 19

19. Pour un matériau isotrope, on connaît le module de Young E et le coefficient de Poisson ν. Quelle relation permet de calculer le module de cisaillement G ?

G=\frac{E}{1+\nu}

G=\frac{E}{2(1+\nu)}

G=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}

G=\frac{E}{2(1-\nu)}

Explication

Le module de cisaillement vérifie $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$ . La formule sans 2 omet un facteur, celle avec $1-\nu$ change le signe dans le dénominateur, et l’expression contenant ν correspond au coefficient de Lamé λ.

Answer

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

QCM : Contraintes et déformations des solides (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour établir le bilan des forces sur un domaine continu, quelle distinction faut-il faire entre les efforts extérieurs ?

2. Une facette de frontière reçoit une force de contact répartie sur sa surface : quelle grandeur représente la force par unité de surface exercée par le milieu extérieur ?

3. Sur une facette, le produit $T\cdot n$ vaut une valeur négative, tandis qu’une composante de $T$ parallèle à la facette est non nulle. Comment interpréter ces deux composantes ?

4. Sur une facette de normale $n=(1,0,0)$ , le tenseur est $\sigma=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Quel vecteur contrainte obtient-on ?

5. Dans un modèle de contraintes, quelle propriété de la matrice de Cauchy assure l’équilibre en rotation d’un petit cube ?

6. Pour un tenseur des contraintes représenté par la matrice $\sigma$ , quelle démarche permet de déterminer ses contraintes et directions principales ?

7. Un tenseur des contraintes a pour contraintes principales $2$ , $-1$ et $4$ MPa. Quelle est la valeur de son invariant $I_2$ ?

8. Pour un tenseur des contraintes $\sigma$ de trace $12\;\text{MPa}$ , quelle décomposition utilise la contrainte moyenne correcte ?

9. Lorsqu’on décompose un tenseur des contraintes en parties sphérique et déviatorique, quelle caractéristique s’applique à la partie déviatorique ?

10. Deux points voisins d’un solide subissent le même déplacement. Quel effet cette situation a-t-elle sur la déformation du solide ?

11. Dans un petit élément de solide, le gradient du déplacement comporte une partie antisymétrique et une partie symétrique. Quelle interprétation leur associer ?

12. Pour un champ de déplacement local, quelle expression permet de calculer la composante $\varepsilon_{12}$ du tenseur des déformations ?

13. Un élément de solide subit une déformation décrite par $\varepsilon_{11}$ et $\varepsilon_{12}$ . Quelle interprétation physique correspond à ces deux composantes ?

14. Dans un fluide, le champ de vitesse vaut $V_1=ay$ et $V_2=bx$ . Quelle expression donne la composante $D_{12}$ du tenseur des vitesses de déformation ?

15. Un écoulement possède un champ de vitesse dont le rotationnel est nul dans toute la région étudiée. Comment qualifie-t-on ce mouvement ?

16. Après avoir retiré une charge, un solide retrouve sa forme initiale après une petite déformation. Quel modèle décrit le mieux cette réponse ?

17. Une barre soumise à une traction simple présente une déformation longitudinale $\varepsilon_1=0{,}002$ et un module de Young $E=200\,\text{GPa}$ . Quelle contrainte longitudinale prédit la loi de Hooke ?

18. Dans un solide soumis à une petite déformation isotrope, on connaît le tenseur des déformations ε. Quelle expression permet de déterminer la contrainte σij à partir de εij et de sa trace θ ?

19. Pour un matériau isotrope, on connaît le module de Young E et le coefficient de Poisson ν. Quelle relation permet de calculer le module de cisaillement G ?

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QCM : Contraintes et déformations des solides (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour établir le bilan des forces sur un domaine continu, quelle distinction faut-il faire entre les efforts extérieurs ?

2. Une facette de frontière reçoit une force de contact répartie sur sa surface : quelle grandeur représente la force par unité de surface exercée par le milieu extérieur ?

3. Sur une facette, le produit T⋅nT\cdot nT⋅n vaut une valeur négative, tandis qu’une composante de TTT parallèle à la facette est non nulle. Comment interpréter ces deux composantes ?

4. Sur une facette de normale n=(1,0,0)n=(1,0,0)n=(1,0,0), le tenseur est σ=(420230001)\sigma=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}σ=​420​230​001​​. Quel vecteur contrainte obtient-on ?

5. Dans un modèle de contraintes, quelle propriété de la matrice de Cauchy assure l’équilibre en rotation d’un petit cube ?

6. Pour un tenseur des contraintes représenté par la matrice σ\sigmaσ, quelle démarche permet de déterminer ses contraintes et directions principales ?

7. Un tenseur des contraintes a pour contraintes principales 222, −1-1−1 et 444 MPa. Quelle est la valeur de son invariant I2I_2I2​ ?

8. Pour un tenseur des contraintes σ\sigmaσ de trace 12 MPa12\;\text{MPa}12MPa, quelle décomposition utilise la contrainte moyenne correcte ?

9. Lorsqu’on décompose un tenseur des contraintes en parties sphérique et déviatorique, quelle caractéristique s’applique à la partie déviatorique ?

10. Deux points voisins d’un solide subissent le même déplacement. Quel effet cette situation a-t-elle sur la déformation du solide ?

11. Dans un petit élément de solide, le gradient du déplacement comporte une partie antisymétrique et une partie symétrique. Quelle interprétation leur associer ?

12. Pour un champ de déplacement local, quelle expression permet de calculer la composante ε12\varepsilon_{12}ε12​ du tenseur des déformations ?

13. Un élément de solide subit une déformation décrite par ε11\varepsilon_{11}ε11​ et ε12\varepsilon_{12}ε12​. Quelle interprétation physique correspond à ces deux composantes ?

14. Dans un fluide, le champ de vitesse vaut V1=ayV_1=ayV1​=ay et V2=bxV_2=bxV2​=bx. Quelle expression donne la composante D12D_{12}D12​ du tenseur des vitesses de déformation ?

15. Un écoulement possède un champ de vitesse dont le rotationnel est nul dans toute la région étudiée. Comment qualifie-t-on ce mouvement ?

16. Après avoir retiré une charge, un solide retrouve sa forme initiale après une petite déformation. Quel modèle décrit le mieux cette réponse ?

17. Une barre soumise à une traction simple présente une déformation longitudinale ε1=0,002\varepsilon_1=0{,}002ε1​=0,002 et un module de Young E=200 GPaE=200\,\text{GPa}E=200GPa. Quelle contrainte longitudinale prédit la loi de Hooke ?

18. Dans un solide soumis à une petite déformation isotrope, on connaît le tenseur des déformations ε. Quelle expression permet de déterminer la contrainte σij à partir de εij et de sa trace θ ?

19. Pour un matériau isotrope, on connaît le module de Young E et le coefficient de Poisson ν. Quelle relation permet de calculer le module de cisaillement G ?

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3. Sur une facette, le produit $T\cdot n$ vaut une valeur négative, tandis qu’une composante de $T$ parallèle à la facette est non nulle. Comment interpréter ces deux composantes ?

4. Sur une facette de normale $n=(1,0,0)$ , le tenseur est $\sigma=\begin{pmatrix}4&2&0\\2&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Quel vecteur contrainte obtient-on ?

6. Pour un tenseur des contraintes représenté par la matrice $\sigma$ , quelle démarche permet de déterminer ses contraintes et directions principales ?

7. Un tenseur des contraintes a pour contraintes principales $2$ , $-1$ et $4$ MPa. Quelle est la valeur de son invariant $I_2$ ?

8. Pour un tenseur des contraintes $\sigma$ de trace $12\;\text{MPa}$ , quelle décomposition utilise la contrainte moyenne correcte ?

12. Pour un champ de déplacement local, quelle expression permet de calculer la composante $\varepsilon_{12}$ du tenseur des déformations ?

13. Un élément de solide subit une déformation décrite par $\varepsilon_{11}$ et $\varepsilon_{12}$ . Quelle interprétation physique correspond à ces deux composantes ?

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