Fiche de révision : Dénombrement et combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Principes de dénombrement
2. Listes ordonnées et permutations
3. Combinaisons et propriétés
4. Triangle de Pascal

📖 1. Principes de dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : le nombre de ses éléments, noté $\operatorname{Card}(E)$.

★ À maîtriser

📌 Si E et F sont deux ensembles disjoints, alors $\operatorname{Card}(E\cup F)=\operatorname{Card}(E)+\operatorname{Card}(F)$.

📌 Pour le produit cartésien E × F, l’ensemble des couples (e,f) vérifie $\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\times\operatorname{Card}(F)$.

Compléments

• Si $\operatorname{Card}(E)=4$ et $\operatorname{Card}(F)=3$, alors $\operatorname{Card}(E\cup F)=7$.

• Si $\operatorname{Card}(E)=4$ et $\operatorname{Card}(F)=3$, alors $\operatorname{Card}(E\times F)=12$.

💡 Astuce mémo

Additionner les choix disjoints, multiplier les choix successifs

📖 2. Listes ordonnées et permutations

🔑 Notions clés & Définitions

• n-uplet : une suite ordonnée de n éléments de E, notée E^n.
• Permutation : un arrangement ordonné de tous les éléments d’un ensemble de cardinal n, sans répétition.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $\operatorname{Card}(E)=k$, le nombre de n-uplets de E est $\operatorname{Card}(E^n)=k^n$.

📐 Formule - Pour $n\leq k$, le nombre d’arrangements ordonnés de n éléments distincts parmi k est $A_k^n=k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)=\frac{k!}{(k-n)!}$.

📐 Formule - Le nombre de permutations de n éléments est $n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\times1$, avec la convention $0!=1$.

💡 Astuce mémo

Répétitions → éléments distincts → tous les éléments

📖 3. Combinaisons et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : une partie de E contenant n éléments non ordonnés.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de combinaisons de n éléments parmi k est $\binom{k}{n}=\frac{k!}{n!(k-n)!}$.

📐 Formule - Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments est $\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}=2^n$.

📌 Les valeurs remarquables sont $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=n$.

📌 La symétrie des coefficients binomiaux s’écrit $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

Compléments

• Le nombre de façons de choisir 5 élèves parmi 17 est $\binom{17}{5}=6\,188$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas

📖 4. Triangle de Pascal

★ À maîtriser

📌 Pour $p\leq n$, la relation de Pascal est $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$.

• Dans le triangle de Pascal, chaque case intérieure est obtenue en additionnant les deux cases directement au-dessus d’elle, celle du dessus et celle du dessus à gauche.

Compléments

• Les lignes du triangle de Pascal pour n allant de 0 à 5 sont respectivement 1 ; 1,1 ; 1,2,1 ; 1,3,3,1 ; 1,4,6,4,1 ; et 1,5,10,10,5,1.

💡 Astuce mémo

Chaque case reçoit la somme des deux cases situées au-dessus

📊 Tableaux de synthèse

Types de dénombrement