Fiche de révision : Calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Puissances entières relatives
2. Racines carrées

📖 1. Puissances entières relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière relative : Une puissance entière relative est définie par $a^n=a\times a\times\cdots\times a$ pour un entier positif non nul n, et par $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ si a est non nul ; par convention, $a^0=1$ pour tout réel a non nul.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux réels non nuls a et b et deux entiers relatifs n et p, les puissances vérifient $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\left(a^n\right)^p=a^{n\times p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$, $\left(a\times b\right)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

📌 Il n’existe pas de règle permettant de combiner directement une addition ou une soustraction de puissances en additionnant ou soustrayant leurs exposants.

Compléments

• Par exemple, $2^3\times2^2=2^5$, $\left(2^3\right)^2=2^6$ et $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.

💡 Astuce mémo

Même base : les exposants s’additionnent, se soustraient ou se multiplient ; additionner les puissances est interdit.

📖 2. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif ou nul a est l’unique nombre positif ou nul noté $\sqrt{a}$ tel que $a=\sqrt{a}\times\sqrt{a}=\left(\sqrt{a}\right)^2$.
• Carré parfait : Un carré parfait est le carré d’un nombre entier.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre positif a, on a $\sqrt{a^2}=a$.

📐 Formule — Pour deux réels positifs a et b, avec b non nul pour le quotient, on a $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

📌 En général, $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}$ ; par exemple, $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$ alors que $\sqrt{9+16}=5$.

Compléments

• Par exemple, $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$ et $\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}$.

💡 Astuce mémo

La racine se distribue sur un produit ou un quotient, mais pas sur une addition.