Fiche de révision : Dérivation et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Tangente et nombre dérivé
2. Dérivées des fonctions usuelles
3. Opérations sur les dérivées
4. Équations différentielles et solutions

📖 1. Tangente et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : Droite passant par A et de coefficient directeur f'(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le nombre dérivé de f en a est $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📐 Formule - Une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

La sécante AM pivote autour de A jusqu’à devenir la tangente.

📖 2. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une constante a, la dérivée de la fonction constante f(x)=a est $f'(x)=0$ sur ℝ.

📐 Formule - Pour tout entier n≥1, la dérivée de f(x)=xⁿ est $f'(x)=nx^{n-1}$ sur ℝ.

📐 Formule - La dérivée de f(x)=eˣ est $f'(x)=e^x$ sur ℝ.

📖 3. Opérations sur les dérivées

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux fonctions u et v dérivables sur I, la dérivée de leur somme est $(u+v)'=u'+v'$.

📐 Formule - Pour deux fonctions u et v dérivables sur I, la dérivée de leur produit est $(uv)'=u'v+uv'$.

📌 Si u et v sont dérivables sur I et si v ne s’y annule pas, alors u/v est dérivable et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📖 4. Équations différentielles et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Équation dont l’inconnue est une fonction dérivable sur un intervalle I, généralement notée y.
• Solution d’une équation différentielle : Fonction qui satisfait cette équation lorsqu’on y remplace la fonction inconnue par cette fonction.

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle peut avoir plusieurs solutions.