QCM : Dérivation et équations différentielles (12 questions)

Question 1

1. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle propriété caractérise la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

Elle passe par deux points distincts de la courbe et a pour coefficient directeur

f'(a)

.

Elle passe par le point de la courbe d’abscisse

a

et a pour coefficient directeur

f(a)

.

Elle passe par le point de la courbe d’abscisse

a

et a pour ordonnée à l’origine

f'(a)

.

Elle passe par le point de la courbe d’abscisse

a

et a pour coefficient directeur

f'(a)

.

Explication

La tangente en ce point passe par le point de la courbe et son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ . Le coefficient $f(a)$ est l’ordonnée du point, tandis qu’une droite passant par deux points distincts de la courbe est une sécante.

Answer

Elle passe par le point de la courbe d’abscisse $$a$$ et a pour coefficient directeur $$f'(a)$$.

Question 2

2. Pour étudier le nombre dérivé d’une fonction $f$ en $a$ , quelle limite des taux d’accroissement faut-il calculer lorsque l’accroissement $h$ tend vers zéro ?

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a}

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{h}{f(a+h)-f(a)}

\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{h}

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite, lorsque $h$ tend vers zéro, du quotient de la variation de la fonction par l’accroissement $h$ . Inverser le quotient, omettre $f(a)$ ou diviser par $a$ ne donne pas ce taux d’accroissement.

Answer

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 3

3. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $3$ obtient-on ?

y=5(x-3)+2

y=2(x+3)+5

y=2(x-3)+5

y=2(x-3)

Explication

L’équation de la tangente s’écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Avec $a=3$ , $f'(3)=2$ et $f(3)=5$ , elle devient $y=2(x-3)+5$ ; les autres formes confondent les valeurs ou altèrent un terme de la formule.

Answer

$$y=2(x-3)+5$$

Question 4

4. Une fonction constante est définie par $g(x)=12$ pour tout réel $x$ . Quelle est sa dérivée ?

g'(x)=x

g'(x)=1

g'(x)=0

g'(x)=12

Explication

La dérivée d’une fonction constante est nulle sur $\mathbb{R}$ , quelle que soit la valeur de cette constante. La dérivée de $12x$ serait $12$ , mais la fonction donnée est constante.

Answer

$$g'(x)=0$$

Question 5

5. Pour $p(x)=x^5$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

p'(x)=4x^5

p'(x)=x^4

p'(x)=5x^4

p'(x)=5x^5

Explication

Pour une puissance $x^n$ , la dérivée est $nx^{n-1}$ . Avec $n=5$ , on obtient $5x^4$ ; conserver l’exposant ou oublier le facteur $5$ applique incorrectement cette règle.

Answer

$$p'(x)=5x^4$$

Question 6

6. Une fonction est définie par $q(x)=e^x$ . Quelle est la valeur de sa dérivée au point d’abscisse $0$ ?

0

e

e^0+1

1

Explication

La dérivée de $e^x$ est $e^x$ ; en $x=0$ , elle vaut $e^0=1$ . La valeur zéro correspondrait à la dérivée d’une constante, et $e$ est la valeur de $e^x$ en $x=1$ .

Answer

$$2x(x+1)+x^2$$

Answer

$$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}$$

Answer

Une fonction dérivable sur un intervalle

Answer

Calculer $$f'$$ puis vérifier que $$f'+2f=6x+1$$

Answer

Les deux peuvent être solutions, car leurs dérivées valent $$2x$$

Question 7

7. Sur un intervalle, deux fonctions dérivables vérifient $u'(x)=3x$ et $v'(x)=2$ . Quelle est la dérivée de leur somme ?

6x

3x-2

u(x)+v(x)

3x+2

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, donc $(u+v)'=u'+v'=3x+2$ ; $6x$ vient d’une multiplication et $3x-2$ d’une soustraction.

Question 8

8. Pour deux fonctions dérivables, on sait que $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ , $v(x)=x+1$ et $v'(x)=1$ . Quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

2x

2x(x+1)+x^2

2x(x+1)

x^2-(x+1)

Explication

La règle du produit donne $(uv)'=u'v+uv'$ , soit $2x(x+1)+x^2$ . $2x(x+1)$ omet le terme $uv'$ , tandis que $2x$ ne conserve que la dérivée du premier facteur.

Question 9

9. Sur un intervalle où $v$ ne s’annule pas, on a $u(x)=x$ et $v(x)=x+1$ . Quelle formule donne la dérivée de $u/v$ ?

\frac{x(1)-(1)(x+1)}{(x+1)^2}

\frac{(1)(x+1)-x(1)}{x+1}

\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}

\frac{(1)(x+1)+x(1)}{(x+1)^2}

Explication

La dérivée d’un quotient est $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ : ici, le dénominateur est donc $(x+1)^2$ et le numérateur vaut $(1)(x+1)-x(1)$ . Le dénominateur non carré, l’ordre inversé et le signe plus correspondent chacun à une erreur distincte sur la règle.

Question 10

10. Dans l’équation $y'=7x+1$ , quelle est la nature de l’inconnue $y$ ?

Une expression qui ne dépend pas d’une fonction

Un nombre réel fixé par l’équation

Une constante réelle indépendante de

x

Une fonction dérivable sur un intervalle

Explication

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction dérivable sur un intervalle, généralement notée $y$ . Une constante ou un nombre réel ne constitue pas l’inconnue fonctionnelle recherchée.

Question 11

11. Pour vérifier si $f(x)=3x-1$ est solution de $y'+2y=6x+1$ , quelle démarche faut-il appliquer ?

Calculer

f'

puis vérifier que

f'+2f=6x+1

Vérifier seulement que

f

est définie sur l’intervalle

Vérifier si

f+2f'=6x+1

Comparer directement

f

à

6x+1

Explication

Une fonction est solution si, après substitution de cette fonction à l’inconnue et de sa dérivée à $y'$ , l’équation est satisfaite. Vérifier la seule dérivabilité ne suffit pas, et $f+2f'$ intervertit les rôles de la fonction et de sa dérivée.

Question 12

12. Les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^2+1$ sont proposées comme solutions de $y'=2x$ . Quelle conclusion est correcte ?

Aucune ne peut être solution, car leurs expressions diffèrent

Seule

g

peut être solution, car elle est décalée d’une unité

Les deux peuvent être solutions, car leurs dérivées valent

2x

Seule

f

peut être solution, car elle ne comporte pas de constante ajoutée

Explication

Une équation différentielle peut avoir plusieurs solutions : ici, $f'=2x$ et $g'=2x$ , car ajouter une constante ne change pas la dérivée. L’idée d’une solution unique ou d’une dérivée modifiée par le décalage conduit aux autres conclusions.

QCM : Dérivation et équations différentielles (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle propriété caractérise la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

2. Pour étudier le nombre dérivé d’une fonction $f$ en $a$ , quelle limite des taux d’accroissement faut-il calculer lorsque l’accroissement $h$ tend vers zéro ?

3. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $3$ obtient-on ?

4. Une fonction constante est définie par $g(x)=12$ pour tout réel $x$ . Quelle est sa dérivée ?

5. Pour $p(x)=x^5$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

6. Une fonction est définie par $q(x)=e^x$ . Quelle est la valeur de sa dérivée au point d’abscisse $0$ ?

7. Sur un intervalle, deux fonctions dérivables vérifient $u'(x)=3x$ et $v'(x)=2$ . Quelle est la dérivée de leur somme ?

8. Pour deux fonctions dérivables, on sait que $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ , $v(x)=x+1$ et $v'(x)=1$ . Quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

9. Sur un intervalle où $v$ ne s’annule pas, on a $u(x)=x$ et $v(x)=x+1$ . Quelle formule donne la dérivée de $u/v$ ?

10. Dans l’équation $y'=7x+1$ , quelle est la nature de l’inconnue $y$ ?

11. Pour vérifier si $f(x)=3x-1$ est solution de $y'+2y=6x+1$ , quelle démarche faut-il appliquer ?

12. Les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^2+1$ sont proposées comme solutions de $y'=2x$ . Quelle conclusion est correcte ?

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QCM : Dérivation et équations différentielles (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction dérivable en aaa, quelle propriété caractérise la tangente à sa courbe au point d’abscisse aaa ?

2. Pour étudier le nombre dérivé d’une fonction fff en aaa, quelle limite des taux d’accroissement faut-il calculer lorsque l’accroissement hhh tend vers zéro ?

3. Une fonction vérifie f(3)=5f(3)=5f(3)=5 et f′(3)=2f'(3)=2f′(3)=2. Quelle équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 333 obtient-on ?

4. Une fonction constante est définie par g(x)=12g(x)=12g(x)=12 pour tout réel xxx. Quelle est sa dérivée ?

5. Pour p(x)=x5p(x)=x^5p(x)=x5, quelle expression donne sa dérivée sur R\mathbb{R}R ?

6. Une fonction est définie par q(x)=exq(x)=e^xq(x)=ex. Quelle est la valeur de sa dérivée au point d’abscisse 000 ?

7. Sur un intervalle, deux fonctions dérivables vérifient u′(x)=3xu'(x)=3xu′(x)=3x et v′(x)=2v'(x)=2v′(x)=2. Quelle est la dérivée de leur somme ?

8. Pour deux fonctions dérivables, on sait que u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=x2, u′(x)=2xu'(x)=2xu′(x)=2x, v(x)=x+1v(x)=x+1v(x)=x+1 et v′(x)=1v'(x)=1v′(x)=1. Quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

9. Sur un intervalle où vvv ne s’annule pas, on a u(x)=xu(x)=xu(x)=x et v(x)=x+1v(x)=x+1v(x)=x+1. Quelle formule donne la dérivée de u/vu/vu/v ?

10. Dans l’équation y′=7x+1y'=7x+1y′=7x+1, quelle est la nature de l’inconnue yyy ?

11. Pour vérifier si f(x)=3x−1f(x)=3x-1f(x)=3x−1 est solution de y′+2y=6x+1y'+2y=6x+1y′+2y=6x+1, quelle démarche faut-il appliquer ?

12. Les fonctions f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et g(x)=x2+1g(x)=x^2+1g(x)=x2+1 sont proposées comme solutions de y′=2xy'=2xy′=2x. Quelle conclusion est correcte ?

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1. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle propriété caractérise la tangente à sa courbe au point d’abscisse $a$ ?

2. Pour étudier le nombre dérivé d’une fonction $f$ en $a$ , quelle limite des taux d’accroissement faut-il calculer lorsque l’accroissement $h$ tend vers zéro ?

3. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=2$ . Quelle équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse $3$ obtient-on ?

4. Une fonction constante est définie par $g(x)=12$ pour tout réel $x$ . Quelle est sa dérivée ?

5. Pour $p(x)=x^5$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

6. Une fonction est définie par $q(x)=e^x$ . Quelle est la valeur de sa dérivée au point d’abscisse $0$ ?

7. Sur un intervalle, deux fonctions dérivables vérifient $u'(x)=3x$ et $v'(x)=2$ . Quelle est la dérivée de leur somme ?

8. Pour deux fonctions dérivables, on sait que $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ , $v(x)=x+1$ et $v'(x)=1$ . Quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

9. Sur un intervalle où $v$ ne s’annule pas, on a $u(x)=x$ et $v(x)=x+1$ . Quelle formule donne la dérivée de $u/v$ ?

10. Dans l’équation $y'=7x+1$ , quelle est la nature de l’inconnue $y$ ?

11. Pour vérifier si $f(x)=3x-1$ est solution de $y'+2y=6x+1$ , quelle démarche faut-il appliquer ?

12. Les fonctions $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^2+1$ sont proposées comme solutions de $y'=2x$ . Quelle conclusion est correcte ?