Fiche de révision : Dérivation et fonctions dérivées

📋 Plan du Cours

1. Coefficient directeur et taux de variation
2. Limite d’une fonction
3. Nombre dérivé en un point
4. Tangente et approximation locale
5. Dérivées des fonctions usuelles
6. Opérations sur les dérivées

📖 1. Coefficient directeur et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : La droite d’équation $y=ax+b$ a pour coefficient directeur le nombre $a$.
• Taux de variation : De $f$ entre $x_0$ et $x_1$, avec $x_0\ne x_1$, est le nombre $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La droite passant par deux points distincts $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, avec $x_A\ne x_B$, a pour coefficient directeur $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

• Le taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x_1$ est le coefficient directeur de la corde passant par $A(x_0;f(x_0))$ et $B(x_1;f(x_1))$.

📖 2. Limite d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : De $r(h)$ lorsque $h$ tend vers 0 vaut $l$ si $r(h)$ devient aussi proche de $l$ que l’on veut lorsque $h$ est suffisamment proche de 0.

★ À maîtriser

• Pour calculer la limite de $r(h)=\frac{12h+6h^2+h^3}{h}$ en 0, on factorise le numérateur par $h$, on simplifie et l’on obtient $r(h)=12+6h+h^2$, donc $\lim_{h\to0}r(h)=12$.

Compléments

📐 Formule — La notation de la limite de $r(h)$ lorsque $h$ tend vers 0 est $\lim_{h\to 0}r(h)=l$.

💡 Astuce mémo

Simplifier, puis remplacer

📖 3. Nombre dérivé en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ s’il existe un réel $l$ tel que $\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=l$; ce réel est le nombre dérivé $f'(x_0)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ vérifie $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Compléments

• Le nombre dérivé en $x_0$ est la limite du taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ lorsque $h$ tend vers 0.

• Pour $f(x)=x^3$, le taux de variation entre $a$ et $a+h$ vaut $3a^2+3ah+h^2$, et la définition donne $f'(a)=3a^2$, donc $f'(2)=12$.

📖 4. Tangente et approximation locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : À la courbe de $f$ en $x_0$ est la droite passant par $A(x_0;f(x_0))$ et dont le coefficient directeur vaut $f'(x_0)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0$ est $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

📌 Si $x$ est suffisamment proche de $x_0$, alors $f(x)$ peut être approximée par $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Compléments

• Si $f(3)=4$ et $f'(3)=5$, une équation de la tangente en 3 est $y=4+5(x-3)$.

📖 5. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

• Les fonctions de référence possèdent des dérivées connues sur les intervalles où ces dérivées sont définies.

• La dérivée de la fonction exponentielle définie sur $\mathbb{R}$ est $\left(e^x\right)'=e^x$.

📖 6. Opérations sur les dérivées

★ À maîtriser

• Pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un même intervalle, les dérivées d’une somme, d’un produit et d’un quotient s’obtiennent avec les règles d’opérations correspondantes, le quotient exigeant que $v$ ne s’annule pas sur l’intervalle.

📐 Formule — La dérivée de l’inverse d’une fonction $v$ est $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

Compléments

📐 Formule — Si $k$ est une constante, la dérivée de $ku$ est $\left(ku\right)'=ku'$.