Fiche de révision : Dérivation et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Taux d’accroissement et nombre dérivé
2. Équation de la tangente
3. Fonction dérivée et fonctions usuelles
4. Opérations sur les dérivées
5. Valeur absolue et non-dérivabilité

📖 1. Taux d’accroissement et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Pour une fonction définie en a et a+h, avec h non nul, le taux d’accroissement entre a et a+h est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Dérivabilité en un point : Une fonction f est dérivable en a si le taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel lorsque h tend vers 0.
• Nombre dérivé : Lorsque f est dérivable en a, la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 est le nombre dérivé de f en a, noté $f'(a)$.

📝 Points essentiels

📌 Le taux d’accroissement est le coefficient directeur d’une sécante passant par deux points de la courbe, tandis que le nombre dérivé est la limite de ce taux et le coefficient directeur de la tangente.

💡 Astuce mémo

Quand le point mobile se rapproche, la sécante tend vers la tangente.

📖 2. Équation de la tangente

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a passe par le point de coordonnées $(a,f(a))$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$.

• Pour trouver les tangentes à une courbe parallèles à une droite donnée, on égalise le nombre dérivé au coefficient directeur de cette droite, on résout l’équation obtenue, puis on écrit l’équation de la tangente en chaque abscisse solution.

📖 3. Fonction dérivée et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Si f est dérivable en tout point d’un intervalle I, sa fonction dérivée, notée $f'$, associe à chaque réel x de I le nombre dérivé $f'(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les dérivées usuelles sont $(c)'=0$, $(ax+b)'=a$, $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$, $(x^n)'=nx^{n-1}$ pour un entier non nul n, $\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$ et $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur leur domaine de dérivabilité.

Compléments

📌 La fonction racine carrée est définie sur $[0,+\infty[$ mais n’est pas dérivable en 0, car son taux d’accroissement depuis 0 devient infiniment grand lorsque h tend vers 0 par valeurs positives.

📖 4. Opérations sur les dérivées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables f et g et des réels λ, les règles de dérivation sont $(\lambda f)'=\lambda f'$, $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\frac{1}{f}\right)'=-\frac{f'}{f^2}$, $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et $(f(ax+b))'=a f'(ax+b)$, lorsque les expressions sont définies.

Compléments

📌 La dérivée d’un quotient $\frac{f}{g}$ s’applique lorsque f et g sont dérivables et que g ne s’annule pas sur l’intervalle considéré.

📌 La dérivée de la composée d’une fonction f avec une fonction affine x↦ax+b est $a f'(ax+b)$.

📖 5. Valeur absolue et non-dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x, notée $|x|$, est sa distance à 0 sur l’axe des réels et est définie par $|x|=x$ si x≥0 et $|x|=-x$ si x<0.

★ À maîtriser

📌 La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, car son taux d’accroissement depuis 0 vaut 1 pour h>0 et −1 pour h<0 et n’a donc pas de limite lorsque h tend vers 0.

Compléments

• La courbe de la fonction valeur absolue est formée des demi-droites d’équations y=x pour x≥0 et y=−x pour x≤0.

• Une équation de la forme $|x|=a$ n’a pas de solution si a<0, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue suit deux demi-droites, mais présente un angle en 0.