QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Question 1

1. Si, lorsque $h$ tend vers $0$ , le taux d’accroissement de $f$ en $a$ tend vers un réel $L$ , comment nomme-t-on et note-t-on ce réel ?

Le nombre dérivé en

a

, noté

f'(a)=L

La sécante en

a

, notée

h=L

Le taux d’accroissement en

a

, noté

f(a)=L

L’image de

a

, notée

f(a+h)=L

Explication

La limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers $0$ est le nombre dérivé, noté $f'(a)$ . Le taux pour un $h$ fixé n’est pas cette limite, et $f(a)$ désigne l’image de $a$ , non le nombre dérivé.

Answer

Le nombre dérivé en $$a$$, noté $$f'(a)=L$$

Question 2

2. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=-2$ . Quelle équation décrit sa tangente au point d’abscisse $3$ ?

y=-2(x-3)+5

y=-2(x+3)+5

y=-2(x-5)+3

y=5(x-3)-2

Explication

La tangente en $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; en substituant les données, on obtient $y=-2(x-3)+5$ . Le coefficient directeur ne remplace pas l’ordonnée, le facteur doit être $x-a$ et le terme constant est $f(a)$ .

Answer

$$y=-2(x-3)+5$$

Question 3

3. Pour une courbe donnée par $f(x)=x^2$ , on cherche les tangentes parallèles à une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle démarche permet de les déterminer ?

Résoudre

f(x)=4

, puis écrire la tangente à chaque solution

Résoudre

f'(x)=4

, puis écrire la tangente à chaque solution

Résoudre

f(x)=0

, puis écrire la tangente à chaque solution

Résoudre

f'(x)=f(x)

, puis écrire la tangente à chaque solution

Explication

Des droites parallèles ont le même coefficient directeur : il faut donc résoudre $f'(x)=4$ , puis écrire l’équation de la tangente pour chaque abscisse obtenue. Résoudre $f(x)=4$ ou $f(x)=0$ porte sur les images de la fonction, et non sur les pentes.

Answer

Résoudre $$f'(x)=4$$, puis écrire la tangente à chaque solution

Question 4

4. Pour une fonction définie en $2$ et $2+h$ , avec $h\ne 0$ , quel rapport calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}

\frac{f(2)-f(h)}{2}

\frac{f(2+h)}{f(2)h}

\frac{h}{f(2+h)-f(2)}

Explication

Le taux d’accroissement est la variation des images divisée par la variation des abscisses, soit ici $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ . L’inversion du rapport, le remplacement de $f(2+h)$ par $f(h)$ et l’absence de différence entre les images correspondent aux erreurs signalées.

Answer

$$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$

Question 5

5. Que désigne la fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle ?

La fonction qui associe à chaque abscisse de l’intervalle le nombre dérivé correspondant.

La fonction qui associe à chaque abscisse l’ordonnée du point de la courbe correspondant.

La fonction qui associe à chaque abscisse la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle.

La fonction qui associe à chaque abscisse le coefficient directeur d’une sécante fixe.

Explication

La fonction dérivée associe à chaque réel de l’intervalle le nombre dérivé de la fonction en ce point. L’ordonnée du point de la courbe est donnée par la fonction initiale, et non par sa dérivée.

Answer

La fonction qui associe à chaque abscisse de l’intervalle le nombre dérivé correspondant.

Question 6

6. Pour dériver le produit de deux fonctions dérivables $f$ et $g$ , quelle règle faut-il appliquer ?

Additionner les deux dérivées, puis multiplier le résultat par le produit des deux fonctions.

Multiplier les deux dérivées, puis ajouter les deux fonctions.

Soustraire le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde du produit de la dérivée de la première par la seconde.

Multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde, puis ajouter la première multipliée par la dérivée de la seconde.

Explication

La dérivée d’un produit s’obtient avec la règle $(fg)'=f'g+fg'$ , qui combine les dérivées et les fonctions croisées. Multiplier les deux dérivées ne correspond pas à cette règle.

Answer

Multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde, puis ajouter la première multipliée par la dérivée de la seconde.

Question 7

7. Quel rôle joue le taux d’accroissement de la fonction valeur absolue en 0 dans l’étude de sa dérivabilité en ce point ?

Il mesure la variation de la fonction entre deux abscisses positives pour établir sa continuité en 0.

Il permet de comparer les pentes à droite et à gauche de 0 afin de vérifier si elles tendent vers une même limite.

Il donne la valeur de la fonction en 0 en calculant la distance de 0 à l’origine.

Il détermine l’équation de la tangente en 0 à partir de la pente moyenne sur l’axe réel.

Explication

Le taux d’accroissement vaut 1 lorsque le déplacement est positif et −1 lorsqu’il est négatif, donc il sert à constater que les limites latérales diffèrent et que la fonction n’est pas dérivable en 0. Il ne calcule pas la valeur de la fonction en 0, qui est simplement nulle.

Answer

Il permet de comparer les pentes à droite et à gauche de 0 afin de vérifier si elles tendent vers une même limite.

Question 8

8. En quoi le taux d’accroissement entre deux points d’une courbe diffère-t-il du nombre dérivé en un point ?

Le taux d’accroissement mesure la valeur de la fonction en un point, tandis que le nombre dérivé mesure la variation entre deux abscisses.

Le taux d’accroissement est le coefficient directeur d’une tangente, tandis que le nombre dérivé est celui d’une sécante entre deux points distincts.

Le taux d’accroissement est la limite obtenue quand les points se rapprochent, tandis que le nombre dérivé est un quotient calculé pour deux points distincts.

Le taux d’accroissement est le coefficient directeur d’une sécante, tandis que le nombre dérivé est la limite de ces taux et le coefficient directeur de la tangente.

Explication

Le taux d’accroissement décrit la pente de la sécante reliant les points d’abscisses $a$ et $a+h$ ; lorsque sa limite existe quand $h$ tend vers $0$ , elle donne la pente de la tangente, appelée nombre dérivé. Le quotient calculé pour deux points distincts reste un taux d’accroissement et n’est pas, à lui seul, le nombre dérivé.

Answer

Le taux d’accroissement est le coefficient directeur d’une sécante, tandis que le nombre dérivé est la limite de ces taux et le coefficient directeur de la tangente.

Question 9

9. Pourquoi la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe-t-elle par le point de coordonnées $(a,f(a))$ et a-t-elle pour coefficient directeur $f'(a)$ ?

Parce que son équation est

y=f(a)x-f'(a)

, ce qui donne sa pente à partir de la valeur de la fonction.

Parce que son équation est

y=f'(a)x+f(a)

, ce qui place son point de contact à l’ordonnée à l’origine.

Parce que son équation est

y=f'(a)(x-a)+f(a)

, ce qui fixe son point de contact et sa pente.

Parce que son équation est

y=f(a)(x-a)+f'(a)

, ce qui échange le point de contact et la pente.

Explication

Dans l’équation de la tangente, prendre $x=a$ donne $y=f(a)$ , tandis que le coefficient de $x$ est $f'(a)$ . L’expression qui échange $f(a)$ et $f'(a)$ ne garantit donc ni le bon point de contact ni la bonne pente.

Answer

Parce que son équation est $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$, ce qui fixe son point de contact et sa pente.

QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si, lorsque $h$ tend vers $0$ , le taux d’accroissement de $f$ en $a$ tend vers un réel $L$ , comment nomme-t-on et note-t-on ce réel ?

2. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=-2$ . Quelle équation décrit sa tangente au point d’abscisse $3$ ?

3. Pour une courbe donnée par $f(x)=x^2$ , on cherche les tangentes parallèles à une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle démarche permet de les déterminer ?

4. Pour une fonction définie en $2$ et $2+h$ , avec $h\ne 0$ , quel rapport calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

5. Que désigne la fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle ?

6. Pour dériver le produit de deux fonctions dérivables $f$ et $g$ , quelle règle faut-il appliquer ?

7. Quel rôle joue le taux d’accroissement de la fonction valeur absolue en 0 dans l’étude de sa dérivabilité en ce point ?

8. En quoi le taux d’accroissement entre deux points d’une courbe diffère-t-il du nombre dérivé en un point ?

9. Pourquoi la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe-t-elle par le point de coordonnées $(a,f(a))$ et a-t-elle pour coefficient directeur $f'(a)$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Origine du génotype des individus

Organisation fonctionnelle du vivant

Phénomènes électriques et oscilloscope

Mélange de deux liquides

Organisation et fonctions des cellules

ADN, gènes et spécialisation cellulaire

Crée tes propres QCM

QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si, lorsque hhh tend vers 000, le taux d’accroissement de fff en aaa tend vers un réel LLL, comment nomme-t-on et note-t-on ce réel ?

2. Une fonction vérifie f(3)=5f(3)=5f(3)=5 et f′(3)=−2f'(3)=-2f′(3)=−2. Quelle équation décrit sa tangente au point d’abscisse 333 ?

3. Pour une courbe donnée par f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, on cherche les tangentes parallèles à une droite de coefficient directeur 444. Quelle démarche permet de les déterminer ?

4. Pour une fonction définie en 222 et 2+h2+h2+h, avec h≠0h\ne 0h=0, quel rapport calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

5. Que désigne la fonction dérivée d’une fonction dérivable sur un intervalle ?

6. Pour dériver le produit de deux fonctions dérivables fff et ggg, quelle règle faut-il appliquer ?

7. Quel rôle joue le taux d’accroissement de la fonction valeur absolue en 0 dans l’étude de sa dérivabilité en ce point ?

8. En quoi le taux d’accroissement entre deux points d’une courbe diffère-t-il du nombre dérivé en un point ?

9. Pourquoi la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa passe-t-elle par le point de coordonnées (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) et a-t-elle pour coefficient directeur f′(a)f'(a)f′(a) ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Origine du génotype des individus

Organisation fonctionnelle du vivant

Phénomènes électriques et oscilloscope

Mélange de deux liquides

Organisation et fonctions des cellules

ADN, gènes et spécialisation cellulaire

Crée tes propres QCM

1. Si, lorsque $h$ tend vers $0$ , le taux d’accroissement de $f$ en $a$ tend vers un réel $L$ , comment nomme-t-on et note-t-on ce réel ?

2. Une fonction vérifie $f(3)=5$ et $f'(3)=-2$ . Quelle équation décrit sa tangente au point d’abscisse $3$ ?

3. Pour une courbe donnée par $f(x)=x^2$ , on cherche les tangentes parallèles à une droite de coefficient directeur $4$ . Quelle démarche permet de les déterminer ?

4. Pour une fonction définie en $2$ et $2+h$ , avec $h\ne 0$ , quel rapport calcule le taux d’accroissement entre ces deux abscisses ?

6. Pour dériver le produit de deux fonctions dérivables $f$ et $g$ , quelle règle faut-il appliquer ?

9. Pourquoi la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe-t-elle par le point de coordonnées $(a,f(a))$ et a-t-elle pour coefficient directeur $f'(a)$ ?