Qu'est-ce que la différentiabilité composante par composante ?
Une fonction vectorielle est différentiable si chacune de ses composantes l'est.
Quelles opérations préservent la différentiabilité des fonctions ?
La somme, le produit, la composition et l'inverse de fonctions différentiables sont différentiables.
Pourquoi la fonction f(x,y)=y sin(xy) est-elle différentiable sur ℝ² ?
Parce que ses coordonnées, le produit et la composition avec le sinus sont différentiables.
Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à x ?
C'est y² cos(xy).
Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à y ?
C'est sin(xy) + xy cos(xy).
Quelles sont les dérivées partielles de h(x,y,z)=(x²(y+1), xz², y+1) ?
Elles sont (2x(y+1), z², 0), (x², 0, 1) et (0, 2xz, 0).
Quelle propriété ont les fonctions polynomiales, exponentielles et trigonométriques du cours ?
Elles ont des dérivées partielles continues sur leur domaine et sont de classe C1.
Quelle est la dérivée partielle de G(R,T)=R³T+R²T²+RT³ par rapport à R ?
C'est 3R²T + 2RT² + T³.
Quelle est la dérivée partielle de G(R,T)=R³T+R²T²+RT³ par rapport à T ?
C'est R³ + 2R²T + 3RT².
Quel est le domaine de définition de φ(p,q)=(ln(p²q²), ln(p−q+1)) ?
C'est p ≠ 0, q ≠ 0 et p + 1 > q.
Quelle est la dérivée partielle de φ(p,q) par rapport à p ?
C'est (2/p, 1/(p−q+1)).
Qu'est-ce que le gradient d'une fonction réelle ?
Le vecteur formé par ses dérivées partielles.
Quelle est la formule du gradient de f(x,y)=y sin(xy) ?
∇f(x,y)=(y² cos(xy), sin(xy)+xy cos(xy)).
Comment s'écrit la différentielle df de f(x,y)=y sin(xy) ?
df=y² cos(xy) dx + (sin(xy)+xy cos(xy)) dy.
Quelle est la valeur du gradient ∇f au point (1,π/2) ?
∇f=(0,1).
Quelle est la différentielle df au point (1,π/2) ?
df=dy.
Quelle est la valeur du gradient ∇G en (3,2) ?
∇G(3,2)=(86,99).
Comment s'écrit la différentielle dG en (3,2) ?
dG(3,2)=86 dR + 99 dT.
Que contient la matrice jacobienne d'une fonction vectorielle ?
Les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable.
Quelle est la forme de la matrice jacobienne de g(u,v) ?
J_g=2v^2 & 2uv \\ -\frac1{(u+v-1)^2} & -\frac1{(u+v-1)^2}3.
Quelle est la valeur de J_g en (1,1) ?
J_g(1,1)=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Quelle est la matrice jacobienne de h(x,y,z) ?
J_h=\begin{pmatrix}2x(y+1) & x^2 & 0 \\ z^2 & 0 & 2xz \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Quelle est la matrice jacobienne de F(r,\varphi,\theta)=(r\cos\varphi,r\sin\theta) ?
J_F=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\theta & 0 & r\cos\theta\end{pmatrix}.
Quelle est la formule du déterminant jacobien de g(u,v) ?
Le déterminant jacobien de g vaut v(2u-v)/(u+v-1)^2.
Quelle est la valeur de det J_g en (1,1) ?
La valeur de det J_g(1,1) est 1.
Quelle est la formule du déterminant jacobien de h(x,y,z) ?
Le déterminant jacobien de h vaut -4x^2(y+1)z.
Quelle est la valeur de det J_h en (1,0,1) ?
La valeur de det J_h(1,0,1) est -4.
Quelle est la formule du déterminant jacobien de φ(p,q) ?
Le déterminant jacobien de φ vaut -2(p+q)/(pq(q-p-1)).
Quelle est la valeur de det J_φ en (1,1) ?
La valeur de det J_φ(1,1) est -4.
Qu'est-ce que la dérivée directionnelle de f dans la direction u ?
C'est le produit du gradient de f par u.
Comment s'exprime la dérivée directionnelle pour une fonction différentiable ?
Elle vaut df(x,y)u.
Quelle est la valeur du gradient de f(x,y)=xy² en (2,1) ?
Le gradient est (1,4).
Quelle est la dérivée directionnelle de f en (2,1) selon u=(1,-2) ?
Elle vaut −7.
Comment calcule-t-on la pente dans la direction u ?
Avec le vecteur unitaire U=u/||u|| et la formule ∂_U f(2,1)=∇f(2,1)·u/||u||.
Quelle est la direction de la plus forte pente du gradient ?
C'est la direction z=i+4j.
Quelle est la valeur de la plus forte pente du gradient en (2,1) ?
Elle est égale à √17.
Selon quelle direction la montée est-elle la plus douce parmi celles étudiées ?
Selon w=j−i, car sa pente positive est la plus petite.
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1. Quelle condition caractérise la différentiabilité d’une fonction vectorielle ?
2. Pourquoi la fonction obtenue par une somme, un produit ou une composition de fonctions différentiables reste-t-elle différentiable ?
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