QCM : Dérivée et calcul différentiel — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise la différentiabilité d’une fonction vectorielle ?

Elle doit être scalaire et posséder une dérivée unique
Une seule de ses composantes doit être différentiable
Toutes ses composantes doivent être différentiables
Ses composantes doivent être constantes sur leur domaine

Toutes ses composantes doivent être différentiables

Explication

Une fonction vectorielle est différentiable si et seulement si chacune de ses composantes est différentiable. Elle peut donc être étudiée composante par composante.

2. Pourquoi la fonction obtenue par une somme, un produit ou une composition de fonctions différentiables reste-t-elle différentiable ?

Ces opérations garantissent que toutes les dérivées sont constantes
Ces opérations suppriment les éventuelles restrictions du domaine
Ces opérations préservent la différentiabilité là où l’expression est définie
Ces opérations transforment toute fonction en fonction polynomiale

Ces opérations préservent la différentiabilité là où l’expression est définie

Explication

La somme, le produit, la composition et l’inverse de fonctions différentiables sont différentiables sur le domaine où l’expression correspondante est définie.

3. Pour f(x,y)=y sin(xy), quelle est la dérivée partielle par rapport à y ?

y² cos(xy)
sin(xy)+xy cos(xy)
x sin(xy)+y cos(xy)
sin(xy)+y cos(xy)

sin(xy)+xy cos(xy)

Explication

En dérivant y sin(xy) par rapport à y, il faut appliquer la règle du produit : on obtient sin(xy)+xy cos(xy). Le terme sin(xy) n’apparaît pas dans la dérivée par rapport à x.

4. Pour h(x,y,z)=(x²(y+1),xz²,y+1), quelle est la dérivée partielle par rapport à y ?

(2x(y+1),z²,0)
(x²,1,y+1)
(0,2xz,0)
(x²,0,1)

(x²,0,1)

Explication

La dérivée de la première composante par rapport à y vaut x², celle de la deuxième vaut 0 et celle de la troisième vaut 1. On obtient donc (x²,0,1).

5. Pour G(R,T)=R³T+R²T²+RT³, quelle expression donne la dérivée partielle par rapport à R ?

3RT+2R²T²+T³
3R²T+2RT²+T³
R³+2R²T+3RT²
R³T+R²T²+RT³

3R²T+2RT²+T³

Explication

En dérivant par rapport à R, T est considéré comme constant : les trois termes donnent respectivement 3R²T, 2RT² et T³.

6. Comment définit-on le gradient d’une fonction réelle de plusieurs variables ?

Comme la somme de toutes ses variables
Comme le vecteur de ses dérivées partielles
Comme une application linéaire agissant sur les accroissements
Comme le domaine où la fonction est différentiable

Comme le vecteur de ses dérivées partielles

Explication

Le gradient est le vecteur formé par les dérivées partielles de la fonction. Il se distingue de la différentielle, qui est une application linéaire.

7. Pour f(x,y)=y sin(xy), quelle expression représente sa différentielle ?

[y² cos(xy), sin(xy)+xy cos(xy)]
y² cos(xy) dx+[sin(xy)+xy cos(xy)] dy
[y² cos(xy)+sin(xy)+xy cos(xy)](dx+dy)
y² cos(xy)+sin(xy)+xy cos(xy)

y² cos(xy) dx+[sin(xy)+xy cos(xy)] dy

Explication

La différentielle associe à chaque dérivée partielle le différentiel de la variable correspondante : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy. Elle vaut donc l’expression proposée.

8. Que contient la matrice jacobienne d’une fonction vectorielle ?

Les valeurs propres de la fonction par rapport à chaque variable
Les intégrales de chaque composante sur son domaine
Les dérivées directionnelles dans une seule direction choisie
Les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable

Les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable

Explication

La matrice jacobienne rassemble les dérivées partielles de chaque composante de la fonction vectorielle par rapport à chaque variable. Elle se distingue ainsi du gradient, associé à une fonction réelle.

9. Pour la fonction g considérée, quelle est la valeur de sa matrice jacobienne au point (1,1) ?

\(\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}\)

Explication

En évaluant les dérivées partielles de g en (1,1), on obtient \(J_g(1,1)=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}\). Les lignes correspondent aux composantes de g et les colonnes à u et v.

10. Quelle matrice jacobienne correspond à la fonction h(x,y,z) considérée ?

\(\begin{pmatrix}2x(y+1)&x^2&0\\z^2&0&2xz\\0&1&0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}2x(y+1)&z^2&0\\x^2&0&1\\0&2xz&0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}x^2&2x(y+1)&0\\0&z^2&2xz\\1&0&0\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}2x(y+1)&0&x^2\\z^2&2xz&0\\0&1&0\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}2x(y+1)&x^2&0\\z^2&0&2xz\\0&1&0\end{pmatrix}\)

Explication

La matrice jacobienne de h est formée des dérivées partielles de ses trois composantes et vaut la matrice proposée, avec les lignes associées aux composantes et les colonnes à x, y et z.

11. Quelle expression donne le déterminant jacobien de g(u,v) ?

\(\frac{u(2v-u)}{(u+v-1)^2}\)
\(\frac{2u-v}{v(u+v-1)^2}\)
\(\frac{v(2u+v)}{(u-v-1)^2}\)
\(\frac{v(2u-v)}{(u+v-1)^2}\)

\(\frac{v(2u-v)}{(u+v-1)^2}\)

Explication

Le déterminant jacobien de g est le scalaire \(\det J_g=\frac{v(2u-v)}{(u+v-1)^2}\). Il ne doit pas être confondu avec la matrice jacobienne elle-même.

12. Quelle est la valeur de \(\det J_h\) au point (1,0,1) ?

4
0
−1
−4

−4

Explication

La formule générale est \(\det J_h=-4x^2(y+1)z\). En remplaçant x par 1, y par 0 et z par 1, on obtient −4.

13. Comment exprime-t-on la dérivée directionnelle de f dans une direction u lorsque f est différentiable ?

Par la somme des coordonnées de u, indépendamment de f
Par la norme du gradient, indépendamment de u
Par le déterminant de la matrice jacobienne de f
Par le produit du gradient par le vecteur u, soit \(df(x,y)u\)

Par le produit du gradient par le vecteur u, soit \(df(x,y)u\)

Explication

La dérivée directionnelle dépend de la direction choisie et s’écrit comme le produit du gradient par u ; pour une fonction différentiable, elle vaut aussi \(df(x,y)u\).

14. Pour \(f(x,y)=xy^2\), quelle dérivée directionnelle en (2,1) est négative ?

Dans la direction \(d=(2,-1)\), elle vaut 2
Dans la direction \(u=(1,-2)\), elle vaut −7
Dans la direction \(w=(-1,1)\), elle vaut 3
Dans la direction \(v=(1,1)\), elle vaut 5

Dans la direction \(u=(1,-2)\), elle vaut −7

Explication

Les dérivées directionnelles selon u et d sont négatives ; plus précisément, celle selon \(u=(1,-2)\) vaut −7. Les directions v et w donnent respectivement 5 et 3, tandis que celle selon d vaut −2.

15. Quelle direction donne la plus forte pente pour f au point (2,1) ?

La direction \(w=j-i\), avec une pente de valeur 3
La direction \(u=(1,-2)\), avec une pente de valeur −7
La direction \(z=i+4j\), avec une pente de valeur \(\sqrt{17}\)
La direction \(d=(2,-1)\), avec une pente de valeur −2

La direction \(z=i+4j\), avec une pente de valeur \(\sqrt{17}\)

Explication

La pente maximale est atteinte dans la direction du gradient, ici la direction \(z=i+4j\). Sa valeur est la norme du gradient, soit \(\sqrt{17}\).

16. Pour calculer la pente de f dans une direction donnée par un vecteur non unitaire u, quelle expression faut-il utiliser au point (2,1) ?

La norme de ∇f(2,1), divisée par la composante maximale de u
Le produit scalaire de ∇f(2,1) par u, multiplié par ||u||
Le produit scalaire de ∇f(2,1) par u, divisé par ||u||
La somme des composantes de ∇f(2,1) et de u, divisée par ||u||

Le produit scalaire de ∇f(2,1) par u, divisé par ||u||

Explication

La pente dans la direction de u se calcule en normalisant ce vecteur : ∂Uf(2,1)=∇f(2,1)·u/||u||. Cette division est nécessaire car la direction est représentée par le vecteur unitaire U=u/||u||.

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Qu'est-ce que la différentiabilité composante par composante ?

Une fonction vectorielle est différentiable si chacune de ses composantes l'est.

Quelles opérations préservent la différentiabilité des fonctions ?

La somme, le produit, la composition et l'inverse de fonctions différentiables sont différentiables.

Pourquoi la fonction f(x,y)=y sin(xy) est-elle différentiable sur ℝ² ?

Parce que ses coordonnées, le produit et la composition avec le sinus sont différentiables.

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