Fiche de révision : Dérivées, logarithmes et différentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition de la dérivée
2. Règles et dérivées usuelles
3. Logarithmes et exponentielles
4. Représentations logarithmiques
5. Différentielles et dérivées partielles
6. Différentielles et calcul d’erreur

📖 1. Définition de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : De f en x₀ est la limite finie du rapport $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ lorsque $\Delta x$ tend vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — La pente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ vérifie $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\tan(\alpha_0)$.

Compléments

• Si $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ tend vers l’infini lorsque $\Delta x$ tend vers 0, alors la dérivée tend vers l’infini et la tangente est verticale.

💡 Astuce mémo

Variation infinitésimale → pente de la tangente

📖 2. Règles et dérivées usuelles

★ À maîtriser

• La dérivée d’une somme vérifie $(u+v)'=u'+v'$ et la dérivée du produit d’une fonction par un réel vérifie $(ku)'=ku'.$

• La dérivée d’un produit de deux fonctions vérifie $(uv)'=u'v+uv'.$

📌 La dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v est non nulle.

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$, $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$, $\frac{d}{dx}(e^{kx})=ke^{kx}$, $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ et $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$.

Compléments

📌 La dérivée de l’inverse d’une fonction vérifie $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$ lorsque v est non nulle.

📖 3. Logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini pour x strictement positif par $\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}$; c’est une fonction continue et croissante.
• Exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction réciproque du logarithme népérien, avec $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$ et $\ln(e^x)=x$ pour tout réel x.

★ À maîtriser

• Les propriétés du logarithme népérien sont $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$, $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$ et $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$.

📐 Formule — Pour une fonction u strictement positive, on a $\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

Compléments

• Les propriétés de l’exponentielle sont $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$, $\frac{1}{e^a}=e^{-a}$ et $e^{na}=(e^a)^n$.

📖 4. Représentations logarithmiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme de base a : Pour a>1 et x>0, le logarithme de base a est défini par $\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$; pour a=e, il se réduit à $\ln x$.
• Représentation semi-logarithmique : Utilise une échelle logarithmique pour un axe et une échelle linéaire pour l’autre, avec $X=x$ et $Y=\log y$.
• Représentation logarithmique : Utilise une échelle logarithmique sur les deux axes, avec $X=\log x$ et $Y=\log y$.

📝 Points essentiels

• La représentation semi-logarithmique transforme une fonction exponentielle de la forme $y=ae^{bx}$ en représentation d’une droite.

• La représentation logarithmique transforme une fonction puissance de la forme $y=ax^b$ en représentation d’une droite.

💡 Astuce mémo

Semi-log : exponentielle ; log-log : puissance

📖 5. Différentielles et dérivées partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : De y=f(x) est définie par $dy=f'(x)\,dx$, et la dérivée s’écrit $f'(x)=\frac{dy}{dx}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction de trois variables, la différentielle totale vérifie $df(u,v,w)=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv+\frac{\partial f}{\partial w}dw$.

• Pour calculer une dérivée partielle selon u, on dérive par rapport à u en considérant les autres variables comme constantes.

Compléments

• Pour calculer une différentielle, on dérive la fonction comme pour une dérivée puis on multiplie par la différentielle de la variable.

💡 Astuce mémo

Une variable → plusieurs variables → différentielle

📖 6. Différentielles et calcul d’erreur

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude absolue : $\Delta x$ représente l’erreur maximale possible sur une mesure et vérifie $x_e\in]x-\Delta x;x+\Delta x[$; elle est positive et possède la même unité que x.
• Incertitude relative : Le rapport $\frac{\Delta x}{x}$ et indique la précision de la mesure sans unité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un produit $p(x)=u(x)v(x)$, la différentielle logarithmique vérifie $\frac{dp}{p}=\frac{du}{u}+\frac{dv}{v}$; pour un quotient $q(x)=u(x)/v(x)$, elle vérifie $\frac{dq}{q}=\frac{du}{u}-\frac{dv}{v}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une puissance $f(x)=ax^r$, la différentielle logarithmique vérifie $\frac{df}{f}=r\frac{dx}{x}$.

• Pour une surface circulaire de diamètre 3,5 cm et une variation radiale de 0,75 cm, le calcul différentiel donne une variation relative de surface de 0,85, soit 85 %.

• Pour $y=3u-2v$, la propagation différentielle des erreurs donne $\Delta y=|3|\,\Delta u+|-2|\,\Delta v$.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations logarithmiques