Fiche de révision : Description du mouvement

📋 Plan du Cours

1. Modèle du point matériel
2. Référentiel et relativité du mouvement
3. Temps absolu et relativité restreinte
4. Position trajectoire et vitesse
5. Accélération et variations du mouvement
6. Coordonnées cartésiennes
7. Coordonnées cylindriques
8. Mouvements rectilignes
9. Mouvement circulaire uniforme

📖 1. Modèle du point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Objet ponctuel : Modèle simplifié d’un objet réel dont la taille ou la dimension est négligeable devant la distance d’observation ou les autres objets avec lesquels il interagit.

★ À maîtriser

📌 Un point matériel est un objet ponctuel possédant une masse, tandis qu’une charge ponctuelle est un objet ponctuel possédant une charge électrique.

Compléments

• La mécanique du point décrit le mouvement d’objets supposés ponctuels ou, lorsque cette approximation n’est plus valable, le mouvement de leur centre d’inertie.

💡 Astuce mémo

Point valable pour l’orbite, mais pas pour les activités à la surface

📖 2. Référentiel et relativité du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel d’étude : Constitué d’un repère permettant de repérer la position d’un corps et d’une horloge permettant de suivre son éventuel changement de position dans le temps.

★ À maîtriser

📌 La balle lâchée dans un train suit une trajectoire rectiligne pour l’observateur dans le wagon et une trajectoire parabolique pour l’observateur placé au bord des rails.

Compléments

• Dans le référentiel terrestre, un point du sol, trois axes et une horloge servent à décrire les mouvements des objets à l’échelle de la Terre.

💡 Astuce mémo

Dans le train, la balle tombe droit ; depuis le quai, elle suit une parabole

📖 3. Temps absolu et relativité restreinte

★ À maîtriser

• En 1905, les travaux d’Einstein sur la relativité restreinte ont remis en cause le caractère absolu des distances et des durées.

• Dans la relativité restreinte, la vitesse de la lumière dans le vide c est la seule grandeur absolue indépendante du référentiel d’étude.

Compléments

• Les effets relativistes deviennent significatifs lorsque la vitesse du corps est proche de celle de la lumière c, mais ils sont négligeables dans les situations étudiées avec le formalisme newtonien.

💡 Astuce mémo

Vitesse proche de c → distances et durées dépendantes du référentiel

📖 4. Position trajectoire et vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Vecteur reliant un point fixe O du référentiel au point M, noté $\overrightarrow{OM}(t)$ lorsqu’il dépend du temps.
• Trajectoire : Courbe formée par l’ensemble des positions occupées par M dans l’espace au cours de son mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse moyenne entre t et t+Δt vérifie $\langle\vec v\rangle=\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}$ et la vitesse instantanée vérifie $\vec v(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}(t)$.

Compléments

• Le vecteur vitesse instantanée est tangent à la trajectoire du point M à chaque instant et sa norme se mesure en m.s−1.

💡 Astuce mémo

Position → variation → vitesse → tangente à la trajectoire

📖 5. Accélération et variations du mouvement

★ À maîtriser

📐 Formule — L’accélération moyenne entre t et t+Δt vérifie $\langle\vec a\rangle=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}$ et l’accélération instantanée vérifie $\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}(t)$.

• L’accélération est un vecteur qui mesure les changements de norme, de direction ou de sens du vecteur vitesse, et sa norme se mesure en m.s−2.

Compléments

• En chute libre, l’accélération de la pesanteur est supposée constante et vaut environ 10 m.s−2, ce qui augmente la vitesse de chute de 10 m.s−1 chaque seconde.

📌 Lors d’un mouvement unidirectionnel, l’aire sous la courbe de l’accélération projetée sur la direction du mouvement entre t1 et t2 est égale à la variation de vitesse $\Delta v=v(t_2)-v(t_1)$.

💡 Astuce mémo

Variation de la vitesse → accélération, même à norme constante si la direction change

📖 6. Coordonnées cartésiennes

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x(t)\vec e_x+y(t)\vec e_y+z(t)\vec e_z$.

📐 Formule — Dans une base cartésienne fixe, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot x\vec e_x+\dot y\vec e_y+\dot z\vec e_z$ et l’accélération s’écrit $\vec a=\ddot x\vec e_x+\ddot y\vec e_y+\ddot z\vec e_z$.

Compléments

📌 Les coordonnées cartésiennes sont particulièrement simples pour les mouvements rectilignes, tandis que les coordonnées cylindriques ou sphériques peuvent être plus adaptées aux mouvements complexes.

💡 Astuce mémo

Position en x,y,z → vitesse en dérivées premières → accélération en dérivées secondes

📖 7. Coordonnées cylindriques

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$.

📐 Formule — Les vecteurs de la base cylindrique vérifient $\frac{d\vec e_r}{dt}=\dot\theta\vec e_\theta$ et $\frac{d\vec e_\theta}{dt}=-\dot\theta\vec e_r$.

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, la vitesse s’écrit $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z$.

Compléments

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, l’accélération s’écrit $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z$.

💡 Astuce mémo

Radiale → orthoradiale → verticale : er, eθ, ez

📖 8. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Mouvement d’un corps se déplaçant en ligne droite à vitesse constante dans le référentiel de l’observateur.
• Mouvement rectiligne uniformément varié : Mouvement rectiligne à accélération constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniforme, l’accélération est nulle, la vitesse est $\vec v=v_0\vec e_x$ et l’équation horaire est $x(t)=v_0t+x_0$.

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, $\vec a=a_0\vec e_x$, $\vec v=(a_0t+v_0)\vec e_x$ et $x(t)=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$.

Compléments

📌 Si $a_0>0$, le mouvement est uniformément accéléré dans le sens de l’axe, tandis que si $a_0<0$, il est uniformément décéléré dans ce sens.

💡 Astuce mémo

MRU : accélération nulle ; MRUV : accélération constante

📖 9. Mouvement circulaire uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Mouvement d’un point matériel dont la trajectoire est un cercle et dont la vitesse est constante en norme.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R, $\vec v=R\omega_0\vec e_\theta=v_0\vec e_\theta$ et $\omega_0=\frac{v_0}{R}$.

📐 Formule — L’accélération du mouvement circulaire uniforme est centripète et vérifie $\vec a=-R\omega_0^2\vec e_r=-\frac{v_0^2}{R}\vec e_r$.

Compléments

📐 Formule — L’équation horaire d’un mouvement circulaire uniforme est $\theta(t)=\omega_0t+\theta_0=\frac{v_0}{R}t+\theta_0$, où θ0 est la position angulaire initiale.

• La trajectoire réelle des planètes du système solaire est elliptique, mais celle de la Terre peut être approximée par un cercle car l’excentricité de son ellipse est faible.

💡 Astuce mémo

Un point tourne sur un cercle avec une accélération toujours dirigée vers le centre

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des mouvements rectilignes