QCM : Développements limités et équivalents — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant l’équivalence de deux fonctions au voisinage d’un point, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La relation f=o(g) correspond à un quotient f(x)/g(x) tendant vers 1.
La relation f∼g signifie que le quotient f(x)/g(x) reste borné près du point étudié.
La relation f=O(g) impose que le quotient f(x)/g(x) tende vers 1.
La relation s’écrit f(x)∼g(x) lorsque f(x)/g(x) tend vers 0.
La relation s’écrit f(x)∼g(x) lorsque f(x)/g(x) tend vers 1.

La relation s’écrit f(x)∼g(x) lorsque f(x)/g(x) tend vers 1.

Explication

Par définition, l’équivalence signifie que le quotient des deux fonctions tend vers 1. Une limite nulle caractérise la négligeabilité, et non l’équivalence.

2. Au voisinage de zéro, quelles sont les fonctions équivalentes à x ?

ln(1+x) est équivalente à x.
e^x−1 est équivalente à x.
Le terme de plus haut degré d’un polynôme est équivalent à celui-ci près de zéro.
sinh x est équivalente à x.
sin x est équivalente à x.

ln(1+x) est équivalente à x. · e^x−1 est équivalente à x. · sinh x est équivalente à x. · sin x est équivalente à x.

Explication

Les six équivalents listés sont valables au voisinage de zéro. En revanche, le terme dominant d’un polynôme concerne le comportement à l’infini et ne doit pas être appliqué ici.

3. Parmi les propositions suivantes concernant la domination, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La domination f=O(g) entraîne l’équivalence f∼g.
La relation f=O(g) implique que f devient négligeable devant g.
La relation f=O(g) exprime une comparaison locale des fonctions.
f=O(g) signifie que le quotient f/g est borné près de a.
La domination f=O(g) signifie que f/g tend vers zéro.

La relation f=O(g) exprime une comparaison locale des fonctions. · f=O(g) signifie que le quotient f/g est borné près de a.

Explication

La domination signifie que le quotient f/g reste borné au voisinage de a. Elle ne demande pas que ce quotient tende vers zéro, condition plus forte correspondant à f=o(g).

4. Concernant les propriétés relationnelles de l’équivalence au voisinage d’un point :

La transitivité consiste à inverser les deux fonctions comparées.
La symétrie de l’équivalence fait intervenir trois fonctions distinctes.
Si f∼g, alors g∼f.
Si f∼g et g∼h, alors f∼h.
Toute fonction est équivalente à elle-même.

Si f∼g, alors g∼f. · Si f∼g et g∼h, alors f∼h. · Toute fonction est équivalente à elle-même.

Explication

La réflexivité, la symétrie et la transitivité sont les trois propriétés fondamentales de l’équivalence. La symétrie échange deux fonctions, tandis que la transitivité relie trois fonctions.

5. Quelles opérations préservent l’équivalence de fonctions au voisinage d’un point ?

La division de fonctions équivalentes donne nécessairement des fonctions négligeables.
L’inversion transforme f∼g en 1/f∼1/g.
Le quotient de fonctions équivalentes conserve l’équivalence.
L’inversion transforme f∼g en f²∼g².
Le produit de fonctions équivalentes conserve l’équivalence.

L’inversion transforme f∼g en 1/f∼1/g. · Le quotient de fonctions équivalentes conserve l’équivalence. · Le produit de fonctions équivalentes conserve l’équivalence.

Explication

Les équivalents peuvent être inversés, multipliés ou divisés lorsque les expressions sont définies. Ces opérations conservent donc l’équivalence sous les conditions nécessaires de définition.

6. À l’infini, quelles affirmations décrivent l’équivalent d’un polynôme ?

a₀+a₁x+⋯+aₚxᵖ est équivalent à aₚxᵖ.
Le terme de plus haut degré domine les termes de degrés inférieurs à l’infini.
Le degré p détermine la puissance apparaissant dans l’équivalent dominant.
Le coefficient aₚ doit être non nul pour identifier le terme dominant.
Le terme constant a₀ fournit l’équivalent principal lorsque x tend vers l’infini.

a₀+a₁x+⋯+aₚxᵖ est équivalent à aₚxᵖ. · Le terme de plus haut degré domine les termes de degrés inférieurs à l’infini. · Le degré p détermine la puissance apparaissant dans l’équivalent dominant. · Le coefficient aₚ doit être non nul pour identifier le terme dominant.

Explication

À l’infini, le terme de plus haut degré domine les autres termes du polynôme. Le polynôme est donc équivalent à a_p x^p lorsque le coefficient dominant est non nul.

7. Concernant les conséquences de l’équivalence au voisinage d’un point, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Deux fonctions équivalentes ont le même signe au voisinage du point.
Deux fonctions équivalentes ont la même limite lorsque les limites existent.
Deux fonctions équivalentes ont des signes opposés près du point considéré.
Deux fonctions équivalentes possèdent des limites différentes lorsque celles-ci existent.
Deux fonctions dominées l’une par l’autre ont nécessairement le même signe.

Deux fonctions équivalentes ont le même signe au voisinage du point. · Deux fonctions équivalentes ont la même limite lorsque les limites existent.

Explication

Des fonctions équivalentes possèdent la même limite lorsque les limites considérées existent. Elles ont également le même signe au voisinage du point, contrairement à de simples fonctions dominées.

8. À propos de la comparaison des signes par équivalence, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’équivalence permet de comparer les signes près du point considéré.
L’équivalence fournit le même signe au voisinage du point étudié.
La domination de deux fonctions impose une égalité de leurs signes.
La comparaison des signes suppose un voisinage où les fonctions sont définies.
Les fonctions équivalentes peuvent avoir des signes différents près du point.

L’équivalence permet de comparer les signes près du point considéré. · L’équivalence fournit le même signe au voisinage du point étudié. · La comparaison des signes suppose un voisinage où les fonctions sont définies.

Explication

L’équivalence entraîne le même signe près du point, tandis qu’une simple domination ne suffit pas à comparer les signes. Cette conséquence s’entend dans un voisinage où les fonctions sont définies.

9. Les caractéristiques d’un développement limité d’ordre n au voisinage de a comprennent :

Un reste négligeable noté o((x-a)^(n+1)) au voisinage de a.
Des coefficients réels associés aux puissances successives de x-a.
Un reste négligeable noté o((x-a)^n) au voisinage de a.
Une expression polynomiale allant jusqu’à la puissance (x-a)^n.
Une écriture polynomiale construite à partir des puissances de x+a.

Des coefficients réels associés aux puissances successives de x-a. · Un reste négligeable noté o((x-a)^n) au voisinage de a. · Une expression polynomiale allant jusqu’à la puissance (x-a)^n.

Explication

Un développement limité d’ordre n est un polynôme en puissances de x-a, complété par un terme négligeable d’ordre n. Le reste est donc noté o((x-a)^n), et non o((x-a)^(n+1)).

10. Concernant l’unicité et la structure des développements limités, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La partie régulière correspond au terme négligeable du développement.
Plusieurs développements limités distincts existent au même ordre pour une fonction.
Le reste mesure l’erreur après la partie polynomiale régulière.
Un développement d’ordre n fournit celui d’ordre p<n par troncature.
Le développement limité d’une fonction est unique à un ordre donné.

Le reste mesure l’erreur après la partie polynomiale régulière. · Un développement d’ordre n fournit celui d’ordre p<n par troncature. · Le développement limité d’une fonction est unique à un ordre donné.

Explication

À un ordre donné, le développement limité est unique. Sa partie régulière est le polynôme, tandis que le reste négligeable mesure l’erreur; un développement d’ordre supérieur se tronque pour obtenir un ordre inférieur.

11. Concernant la formule de Taylor-Young et les symétries en zéro, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Son reste s’écrit o((x-a)^n) au voisinage de a.
Une fonction paire développée en zéro fait intervenir les puissances impaires.
La formule exige que la fonction soit de classe C^(n+1) sur l’intervalle.
La formule de Taylor-Young utilise les dérivées jusqu’à l’ordre n.
Une fonction paire développée en zéro fait intervenir les puissances paires.

Son reste s’écrit o((x-a)^n) au voisinage de a. · La formule de Taylor-Young utilise les dérivées jusqu’à l’ordre n. · Une fonction paire développée en zéro fait intervenir les puissances paires.

Explication

La formule de Taylor-Young utilise les dérivées jusqu’à l’ordre n et un reste o((x-a)^n). Pour une fonction paire, les puissances impaires disparaissent dans le développement en zéro; la classe C^n suffit sur l’intervalle.

12. Au sujet des puissances apparaissant dans les développements limités en zéro, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une fonction paire possède des termes de puissances paires.
La parité de la fonction ne modifie pas les puissances du développement.
Une fonction paire possède des termes de puissances impaires.
Une fonction impaire possède des termes de puissances paires.
Une fonction impaire possède des termes de puissances impaires.

Une fonction paire possède des termes de puissances paires. · Une fonction impaire possède des termes de puissances impaires.

Explication

Une fonction paire ne comporte que des puissances paires dans son développement en zéro, tandis qu’une fonction impaire ne comporte que des puissances impaires. Les deux propriétés sont donc liées à la symétrie de la fonction.

13. Concernant le développement limité en zéro de l’exponentielle, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le terme de degré n vaut x^n/n!.
Le développement commence par x+x^2/2!.
Le terme de degré deux vaut x^2/2!.
Le terme constant du développement de e^x vaut 1.
Le reste à l’ordre n s’écrit o(x^(n+1)).

Le terme de degré n vaut x^n/n!. · Le terme de degré deux vaut x^2/2!. · Le terme constant du développement de e^x vaut 1.

Explication

Le développement de l’exponentielle en zéro commence par 1+x et contient x^k/k! jusqu’à l’ordre n, avec un reste o(x^n). Le terme constant n’est donc pas nul.

14. Pour multiplier deux développements limités d’ordre n, quelles opérations sont exactes ?

Il faut multiplier leurs parties régulières respectives.
Il faut conserver les termes dont le degré dépasse n.
Il faut supprimer les termes de degré supérieur à n.
Il faut obtenir une expression valable jusqu’à l’ordre n.
Il faut remplacer le produit par une combinaison linéaire.

Il faut multiplier leurs parties régulières respectives. · Il faut supprimer les termes de degré supérieur à n. · Il faut obtenir une expression valable jusqu’à l’ordre n.

Explication

Le produit des parties régulières est ensuite tronqué en supprimant les degrés supérieurs à n. Cette procédure distingue le produit d’une simple combinaison linéaire, qui conserve directement l’ordre n.

15. À propos de l’équivalent fourni par un développement limité au voisinage de a :

Les termes de degré supérieur dominent le premier terme non nul.
Le premier coefficient non nul détermine l’équivalent local.
L’équivalent dépend principalement du dernier terme écrit.
Un premier terme Cₚ(x−a)ᵖ conduit à un équivalent de même forme.
La puissance p correspond au degré du premier terme non nul.

Le premier coefficient non nul détermine l’équivalent local. · Un premier terme Cₚ(x−a)ᵖ conduit à un équivalent de même forme. · La puissance p correspond au degré du premier terme non nul.

Explication

Le premier coefficient non nul, associé à la puissance p, fournit l’équivalent Cₚ(x−a)ᵖ. Les termes de degré supérieur sont négligeables devant ce premier terme non nul au voisinage de a.

16. Pour f(x)=ln(2+x+x²), quelles affirmations concernant son comportement au voisinage de 0 sont exactes ?

La courbe se situe en dessous de sa tangente près de 0.
Le coefficient du terme linéaire vaut 1/2.
Son développement limité commence par le terme constant ln 2.
Sa tangente en 0 est donnée par y=ln 2+x/2.
Le coefficient du terme quadratique vaut 3/8.

Le coefficient du terme linéaire vaut 1/2. · Son développement limité commence par le terme constant ln 2. · Sa tangente en 0 est donnée par y=ln 2+x/2. · Le coefficient du terme quadratique vaut 3/8.

Explication

Le DL donné possède un terme constant ln 2, un terme linéaire x/2 et un terme quadratique positif 3x²/8. La tangente est donc y=ln 2+x/2, et le terme quadratique positif place la courbe au-dessus de cette tangente près de zéro.

17. Concernant la caractérisation d’une asymptote oblique à l’infini, quelles propositions sont exactes ?

La droite asymptote est nécessairement horizontale lorsqu'a est non nul.
La condition s’écrit lim f(x)−(ax+b)=0 à l’infini.
Une droite y=ax+b peut être asymptote lorsque leur différence tend vers zéro.
Une différence tendant vers une constante non nulle suffit pour conclure.
La définition concerne les comportements lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

La condition s’écrit lim f(x)−(ax+b)=0 à l’infini. · Une droite y=ax+b peut être asymptote lorsque leur différence tend vers zéro. · La définition concerne les comportements lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

Explication

Une asymptote oblique y=ax+b est caractérisée par une différence f(x)−(ax+b) qui tend vers zéro lorsque x tend vers +∞ ou −∞. Une limite non nulle ne satisfait pas cette définition.

18. Pour f(x)=x³/(x²−x+1) lorsque x tend vers +∞, quelles affirmations sont exactes ?

L’asymptote oblique est la droite y=x+1.
La courbe se situe au-dessus de l’asymptote pour x grand.
Le terme correctif principal est −1/x².
Le changement de variable t=1/x permet d’étudier le comportement à l’infini.
Le développement commence par le terme x+1.

L’asymptote oblique est la droite y=x+1. · Le terme correctif principal est −1/x². · Le changement de variable t=1/x permet d’étudier le comportement à l’infini. · Le développement commence par le terme x+1.

Explication

Pour la fonction considérée, le développement asymptotique est x+1−1/x²+o(1/x²). L’asymptote est donc y=x+1, et le terme correctif négatif montre que la courbe reste en dessous de cette droite lorsque x tend vers +∞.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 41 flashcards sur Développements limités et équivalents.

Qu'impose l'équivalence entre f et g au voisinage de a ?

La limite du rapport f(x)/g(x) vaut 1 quand x tend vers a.

Comment note-t-on l'équivalence de f et g au voisinage de a ?

On note f(x) xa g(x).

Quelle équivalence trigonométrique est vraie au voisinage de 0 ?

On a sin x x au voisinage de 0.

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Consultez la fiche de révision complète sur Développements limités et équivalents.

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