Développements limités et équivalents

📋 Plan du Cours

1. Équivalence au voisinage d’un point
2. Négligeabilité et domination
3. Propriétés des équivalents
4. Applications des équivalents
5. Définition des développements limités
6. Taylor et développements usuels
7. Opérations sur les développements limités
8. Applications géométriques et asymptotiques

📖 1. Équivalence au voisinage d’un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : La fonction f est équivalente à g au voisinage de a si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$, ce qui se note notamment $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$.

📝 Points essentiels

• Au voisinage de 0, on a notamment $\sin x\sim x$, $\sinh x\sim x$, $\tan x\sim x$, $\tanh x\sim x$, $e^x-1\sim x$ et $\ln(1+x)\sim x$.

💡 Astuce mémo

Équivalent signifie quotient → 1, négligeable signifie quotient → 0

📖 2. Négligeabilité et domination

🔑 Notions clés & Définitions

• Négligeabilité : La fonction f est négligeable devant g au voisinage de a si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$, ce qui se note $f=o(g)$.
• Domination : une fonction dont le quotient par g est borné au voisinage de a

📝 Points essentiels