Fiche de révision : Développements limités et équivalents

📋 Plan du Cours

1. Équivalence au voisinage d’un point
2. Négligeabilité et domination
3. Propriétés des équivalents
4. Applications des équivalents
5. Définition des développements limités
6. Taylor et développements usuels
7. Opérations sur les développements limités
8. Applications géométriques et asymptotiques

📖 1. Équivalence au voisinage d’un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : La fonction f est équivalente à g au voisinage de a si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$, ce qui se note notamment $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$.

📝 Points essentiels

• Au voisinage de 0, on a notamment $\sin x\sim x$, $\sinh x\sim x$, $\tan x\sim x$, $\tanh x\sim x$, $e^x-1\sim x$ et $\ln(1+x)\sim x$.

💡 Astuce mémo

Équivalent signifie quotient → 1, négligeable signifie quotient → 0

📖 2. Négligeabilité et domination

🔑 Notions clés & Définitions

• Négligeabilité : La fonction f est négligeable devant g au voisinage de a si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$, ce qui se note $f=o(g)$.
• Domination : une fonction dont le quotient par g est borné au voisinage de a

📝 Points essentiels

📌 La relation $f=o(g)$ implique toujours $f=O(g)$.

💡 Astuce mémo

o décrit une limite nulle, O décrit seulement une quantité bornée

📖 3. Propriétés des équivalents

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les opérations usuelles sur les termes négligeables comprennent $o(g)\pm o(g)=o(g)$ et $h\,o(g)=o(hg)$.

• L’équivalence est réflexive, symétrique et transitive : $f\sim_a f$, $f\sim_a g\Leftrightarrow g\sim_a f$, et $f\sim_a g$ avec $g\sim_a h$ implique $f\sim_a h$.

• Les équivalents peuvent être inversés, multipliés et divisés : si $f\sim_a g$, alors $1/f\sim_a1/g$, et les produits ou quotients de fonctions équivalentes restent équivalents sous les conditions de définition.

• À l’infini, un polynôme $a_0+a_1x+\dots+a_px^p$ avec $a_p\ne0$ est équivalent à son terme de plus haut degré $a_px^p$.

💡 Astuce mémo

Réflexivité → symétrie → transitivité, puis inversion, produit et quotient

📖 4. Applications des équivalents

📝 Points essentiels

📌 Si $f\sim_{x\to a}g$ et si les limites existent, alors f et g ont la même limite au voisinage de a.

📌 Si $f\sim_{x\to a}g$, alors f et g ont le même signe au voisinage de a.

💡 Astuce mémo

Équivalence → mêmes limites et même signe

📖 5. Définition des développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : La fonction f admet un développement limité d’ordre n au voisinage de a lorsqu’il existe des réels C₀,…,Cₙ tels que $f(x)=C_0+C_1(x-a)+\dots+C_n(x-a)^n+o((x-a)^n)$.

★ À maîtriser

📌 Le développement limité d’une fonction au voisinage d’un point est unique.

Compléments

📌 Si une fonction admet un DL d’ordre n au voisinage de a, elle admet aussi un DL de tout ordre p<n obtenu en tronquant la partie régulière à l’ordre p.

• La partie régulière d’un développement limité est le polynôme $C_0+C_1(x-a)+\dots+C_n(x-a)^n$, tandis que son reste est le terme $o((x-a)^n)$.

💡 Astuce mémo

Un polynôme régulier entouré par un reste

📖 6. Taylor et développements usuels

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f est de classe $C^n$ sur un intervalle, la formule de Taylor-Young donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)$ au voisinage de a.

📐 Formule — Le développement limité en 0 de l’exponentielle est $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$.

📐 Formule — Les développements limités usuels comprennent $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ et $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$.

📌 Pour une fonction paire développée en 0, seules les puissances paires apparaissent, tandis que pour une fonction impaire seules les puissances impaires apparaissent.

💡 Astuce mémo

Valeur en a → dérivées successives → puissances de x−a

📖 7. Opérations sur les développements limités

★ À maîtriser

📌 Une combinaison linéaire de deux fonctions ayant des DL d’ordre n possède un DL d’ordre n dont la partie régulière est la même combinaison linéaire des parties régulières.

• Pour multiplier deux développements limités, on multiplie leurs parties régulières puis on conserve uniquement les termes jusqu’à l’ordre n.

Compléments

• Au voisinage de 0, on obtient $\frac{1}{\cosh x}=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)$ et $\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.

• Au voisinage de 0, le développement limité d’ordre 3 de la tangente est $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.

💡 Astuce mémo

Combiner → multiplier → composer → tronquer

📖 8. Applications géométriques et asymptotiques

📝 Points essentiels

📌 Une droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique de f à l’infini si $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$.

• Si le premier coefficient non nul d’un développement limité est Cₚ, alors la fonction est équivalente à $C_p(x-a)^p$ au voisinage de a.

• Pour $f(x)=\ln(2+x+x^2)$, le DL en 0 est $f(x)=\ln 2+\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2+o(x^2)$, donc la tangente en 0 est $y=\ln 2+\frac{x}{2}$ et la courbe est au-dessus de cette tangente au voisinage de 0.

• Pour $f(x)=\frac{x^3}{x^2-x+1}$, le changement de variable $t=1/x$ donne, lorsque x tend vers +∞, $f(x)=x+1-\frac{1}{x^2}+o(1/x^2)$; ainsi l’asymptote est $y=x+1$ et la courbe est en dessous de cette droite.

💡 Astuce mémo

Premier terme non nul → équivalent → signe → position de la courbe

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des ordres asymptotiques