Fiche de révision : Analyse : asymptotes et développements limités

📋 Plan du Cours

1. Asymptotes des fonctions
2. Limites et formes indéterminées
3. Développements limités
4. Comprendre les développements limités

📖 1. Asymptotes des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Une droite horizontale est une asymptote à la courbe d’une fonction lorsque la fonction tend vers la valeur constante de cette droite quand x tend vers l’infini.
• Asymptote oblique : Une droite est une asymptote oblique à une courbe lorsque la différence entre la fonction et l’équation de cette droite tend vers zéro à l’infini.

★ À maîtriser

📌 Pour la courbe d’équation 1/(x − 1) + |x − 1|, les droites y = x − 1 et y = −x + 1 représentent les asymptotes obliques respectivement à droite et à gauche.

Compléments

• Pour f(x) = (3x^4 + 2x + 1)/(6x^4 − 5), l’exercice demande de montrer l’existence d’une asymptote horizontale en +∞.

• L’exercice demande de montrer que y = 3x + 7 est une asymptote oblique à la courbe de h(x) = (3x^2 + 4x − 2)/(x − 1).

💡 Astuce mémo

À droite, la courbe suit y = x − 1 ; à gauche, elle suit y = −x + 1.

📖 2. Limites et formes indéterminées

★ À maîtriser

• Les limites proposées comportent notamment des formes indéterminées obtenues avec des quotients, des différences de racines carrées et des différences logarithmiques.

• La règle de l’Hôpital est indiquée pour calculer les limites de (ln x)/(x − 1) quand x tend vers 1 et de (ln(3x) − ln(3))/(x − 1) quand x tend vers 1.

• La croissance comparée est indiquée pour calculer la limite de (e^(x^2) + x)/x quand x tend vers +∞.

Compléments

• Les autres limites à étudier sont (x^3 − 27)/(x^2 − 9) quand x tend vers 3, √(x + 5) − √x quand x tend vers +∞, e^((4x^4 + x)/(x^4 + 2)) quand x tend vers +∞ et ((1 + x)^5 − 1)/((1 + x)^3 − 1) quand x tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Identifier la forme, transformer l’expression, puis appliquer Hôpital ou la croissance comparée.

📖 3. Développements limités

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Taylor-Young à l’ordre n en 0 s’écrit $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)$ lorsque x tend vers 0.

• Les développements limités demandés à l’ordre 4 en 0 concernent e^x, ln(1 + x), e^x + x^2, e^x ln(1 + x) et ln(1 + x)/(1 + x).

• L’équation de la tangente en 0 de f(x) = e^x ln(1 + x), ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente, doivent être déterminées à partir du développement limité.

Compléments

• Pour déterminer le développement limité d’un produit ou d’un quotient, il faut combiner les développements limités des fonctions qui le composent en conservant les termes jusqu’à l’ordre demandé.

📖 4. Comprendre les développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : approxime une fonction au voisinage d’un point par un polynôme
• Terme négligeable : désigne un terme négligeable devant x^n lorsque x tend vers 0

📝 Points essentiels

• Admettre un développement limité à l’ordre 3 en 0 signifie que la fonction est approximée près de 0 par un polynôme de degré 3.

📌 Plus l’ordre d’un développement limité est élevé, plus l’approximation est précise près du point considéré.

💡 Astuce mémo

Ordre plus élevé → approximation plus précise près du point considéré.