Fiche de révision : Dimensionnement d’une goupille

📋 Plan du Cours

1. Données et objectif du dimensionnement
2. Résistance en traction de l’arbre
3. Résistance au cisaillement de la goupille
4. Optimisation et choix du diamètre

📖 1. Données et objectif du dimensionnement

📝 Points essentiels

• L’assemblage par goupille est dimensionné avec un coefficient de sécurité de 1,5, une limite d’élasticité en traction Re de 240 MPa et une résistance en cisaillement Reg de 560 MPa.

• Le diamètre de l’arbre soumis à la traction est D = 30 mm.

📌 Le problème consiste à déterminer le diamètre d de la goupille et l’effort admissible N de l’assemblage.

📖 2. Résistance en traction de l’arbre

★ À maîtriser

📐 Formule - La contrainte normale de l’arbre vérifie $\sigma_x = \frac{N}{S} \leq \frac{R_e}{c_s}$.

📐 Formule - Pour un arbre plein de diamètre D = 30 mm, l’effort admissible maximal est $N_{\max} = \frac{R_e}{c_s}\frac{\pi D^2}{4} = 113097{,}3355\ \mathrm{N}$.

📐 Formule - La résistance en traction de l’arbre avec une goupille de diamètre d vérifie $N \leq \frac{R_e}{c_s}\left(\frac{\pi D^2}{4}-Dd\right)$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque la goupille est prise en compte dans une section rectangulaire, l’aire résistante de l’arbre devient $S = \frac{\pi D^2}{4} - Dd$.

💡 Astuce mémo

Section résistante plus grande → effort admissible plus élevé

📖 3. Résistance au cisaillement de la goupille

★ À maîtriser

📐 Formule - La goupille transmet l’effort par deux plans de cisaillement, avec $\tau_y = \frac{N}{2S} \leq \frac{R_{eg}}{c_s}$.

📐 Formule - La résistance au cisaillement de la goupille vérifie $N \leq \frac{R_{eg}}{c_s}\,2\frac{\pi d^2}{4}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une goupille circulaire de diamètre d, la section totale de cisaillement est $2S = 2\frac{\pi d^2}{4}$.

• En utilisant l’effort maximal de l’arbre, la section minimale de goupille calculée est Smin = 151,9 mm² et le diamètre correspondant est d = 13,89 mm.

💡 Astuce mémo

Arbre en traction, goupille en cisaillement

📖 4. Optimisation et choix du diamètre

★ À maîtriser

📐 Formule - L’égalité des deux résistances conduit à $\frac{R_{eg}}{c_s}\,2\frac{\pi d^2}{4}=\frac{R_e}{c_s}\left(\frac{\pi D^2}{4}-Dd\right)$.

📌 La goupille retenue est une goupille de diamètre Ø11, car elle résiste mieux à l’effort que la dimension Ø10 autour du diamètre calculé de 10,38 mm.

• L’optimisation consiste à rechercher l’intersection des courbes de résistance en traction de l’arbre et de résistance au cisaillement de la goupille.

• La résolution de l’équation donne deux racines, d1 = -18,57 mm et d2 = 10,38 mm, dont seule la valeur positive d = 10,38 mm est retenue.

Compléments

• Pour d = 10 mm, l’effort admissible en traction de l’arbre est Nmax = 60 297,33 N, tandis que l’effort admissible au cisaillement de la goupille est Nmax = 5 643 N.

💡 Astuce mémo

Courbes → intersection → diamètre calculé → diamètre choisi

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des résistances