Fiche de révision : Dimensionnement des structures en flexion

📋 Plan du Cours

1. Modélisation d’une poutre en flexion
2. Équilibre et efforts intérieurs
3. Contrainte de flexion
4. Déformée et conditions limites
5. Moment quadratique des sections
6. Flambement d’Euler
7. Vérification du dimensionnement
8. Application numérique

📖 1. Modélisation d’une poutre en flexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Flexion simple : Une poutre est en flexion simple lorsque son torseur des efforts intérieurs comporte un effort tranchant Ty et un moment fléchissant Mfz, sans effort normal ni moment de torsion.

📝 Points essentiels

• En flexion simple dans un problème plan, le torseur de cohésion utilisé contient l’effort tranchant Ty et le moment fléchissant Mfz.

💡 Astuce mémo

Flexion simple = effort tranchant Ty + moment Mfz, contrairement à la flexion pure sans Ty

📖 2. Équilibre et efforts intérieurs

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution d’une poutre en flexion suit les étapes suivantes :
  1. Modéliser
  2. Déterminer les actions de liaison par le principe fondamental de la statique
  3. Établir le torseur des efforts intérieurs et les diagrammes
  4. Calculer le moment quadratique
  5. Calculer la contrainte
  6. Calculer la flèche
  7. Valider le cahier des charges

📐 Formule - Les équations d’équilibre locales d’un élément de poutre sont $\frac{dT_y}{dx}=-q(x)$ et $\frac{dM_{fz}}{dx}=-T_y$.

Compléments

• En l’absence de charge répartie, l’effort tranchant est constant sur chaque zone d’étude et le moment fléchissant varie linéairement.

💡 Astuce mémo

Modéliser → isoler → équilibrer → tracer

📖 3. Contrainte de flexion

📝 Points essentiels

📐 Formule - La contrainte normale de flexion en un point de la section est $\sigma_x=-\frac{M_{fz}}{I_{Gz}}y$.

• La contrainte de flexion est nulle sur la ligne neutre et atteint sa valeur maximale à la fibre la plus éloignée de cette ligne.

💡 Astuce mémo

Moment fléchissant → contrainte variable selon la distance à la fibre neutre

📖 4. Déformée et conditions limites

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation entre le moment fléchissant et la déformée est $u''(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}}$.

• 🔄 Pour obtenir la déformée :
  1. Écrire l’équation reliant u''(x) au moment fléchissant
  2. Intégrer une première fois
  3. Intégrer une seconde fois
  4. Déterminer les constantes grâce aux conditions aux limites

📌 Un encastrement impose un déplacement nul et une pente nulle, soit u(0)=0 et u'(0)=0 dans le modèle considéré.

Compléments

📌 En un point de raccordement entre deux zones, le déplacement et la pente sont continus : $v(B^-)=v(B^+)$ et $v'(B^-)=v'(B^+)$.

💡 Astuce mémo

Équation différentielle → deux intégrations → constantes → conditions aux limites

📖 5. Moment quadratique des sections

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment quadratique : Une caractéristique géométrique d’une section en flexion qui reflète sa rigidité et s’exprime en m⁴ ou en mm⁴.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment quadratique par rapport à l’axe z est $I_{Gz}=\int y^2\,dS$.

📐 Formule - Pour une section circulaire, $I_z=\frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi r^4}{4}$, et pour une section rectangulaire, $I_z=\frac{bh^3}{12}$.

Compléments

📌 Pour une section composée, le théorème de Huygens donne $I_{Gz}(S_i)=I_{G_i z}(S_i)+S_i a^2$.

💡 Astuce mémo

Une section composée comme un rectangle plein auquel on retire un rectangle évidé

📖 6. Flambement d’Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Flambement : Une instabilité mécanique brusque d’une pièce élancée soumise à une compression axiale, qui se déforme dans une direction perpendiculaire à la force.

★ À maîtriser

📐 Formule - La charge critique d’Euler est $N_{cr}=P_{cr}=\frac{\pi^2 E I_{min}}{L_f^2}$, où E est le module d’Young, I_min le moment quadratique minimal et L_f la longueur de flambement.

📌 Si N<Ncr, la pièce reste rectiligne dans le modèle idéal ; si N=Ncr, elle atteint l’équilibre critique ; si N>Ncr, la configuration rectiligne devient instable et le flambement apparaît.

📐 Formule - La contrainte critique de flambement est $\sigma_{cr}=\frac{N_{cr}}{S}$ et la contrainte de compression appliquée est $\sigma=\frac{N}{S}$.

Compléments

• La longueur de flambement dépend des appuis :
  • Lf=2l pour une poutre encastrée-libre
  • Lf=l pour une poutre articulée-articulée
  • Lf=0,7l pour une poutre articulée-encastrée
  • Lf=0,5l pour une poutre encastrée-encastrée

💡 Astuce mémo

N < Ncr stable ; N = Ncr critique ; N > Ncr flambement

📖 7. Vérification du dimensionnement

★ À maîtriser

📌 Pour éviter la ruine d’une pièce comprimée susceptible de flamber, il faut vérifier simultanément $\sigma<\frac{R_e}{\text{coefficient de sécurité}}$ et $\sigma<\sigma_{cr}$.

📌 Le dimensionnement en flexion vérifie le critère de résistance, la rigidité par la flèche maximale, puis la conformité au cahier des charges.

Compléments

• Si les objectifs de dimensionnement ne sont pas validés, il est possible de modifier la géométrie de la section ou de changer le matériau.

💡 Astuce mémo

Résistance → rigidité → validation du cahier des charges

📖 8. Application numérique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une poutre encastrée soumise à une force F, la déformée obtenue avec u(0)=u'(0)=0 est $u(x)=-\frac{FL}{EI_{Gz}}\frac{x^2}{2}+\frac{F}{EI_{Gz}}\frac{x^3}{6}$ et la flèche en x=L vaut $u_{max}=-\frac{FL^3}{3EI_{Gz}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une poutre rectangulaire, le moment quadratique est calculé par $I_{Gz}=\frac{bH^3}{12}$ ; avec b=0,15 m et H=0,3 m, on obtient $I_{Gz}=3{,}375\times10^{-9}\,\mathrm{m^4}$.

📐 Formule - Pour la poutre étudiée, l’application de la loi de flexion conduit à une contrainte maximale de $\sigma_{max}=1{,}127\times10^6\,\mathrm{Pa}$.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes de flambement