Fiche de révision : Dimensions et unités en physique

📋 Plan du Cours

1. Dimensions des grandeurs physiques
2. Grandeurs de base et équations dimensionnelles
3. Homogénéité des équations physiques
4. Analyse dimensionnelle et lois d’échelle
5. Unités du système international
6. Unités dérivées et préfixes

📖 1. Dimensions des grandeurs physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension physique : Caractérise la nature d’une grandeur indépendamment du choix de son unité.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse a pour dimension $[v]=L\,T^{-1}$, car elle est le quotient d’une longueur par un temps.

📌 Deux grandeurs de même dimension peuvent être additionnées ou soustraites, tandis que des grandeurs de dimensions différentes ne peuvent pas l’être.

Compléments

• Le quotient de deux grandeurs ayant la même dimension est un nombre sans dimension, comme le rapport de deux longueurs.

💡 Astuce mémo

Même dimension : addition possible ; dimensions différentes : addition impossible.

📖 2. Grandeurs de base et équations dimensionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation aux dimensions : Exprime mathématiquement les relations entre les dimensions des grandeurs, notées entre crochets comme [G].

★ À maîtriser

📐 Formule — L’accélération a pour dimension $[a]=L\,T^{-2}$.

• Les sept grandeurs de base sont:

  • le temps
  • la longueur
  • la masse
  • l’intensité électrique
  • la température
  • la quantité de matière
  • l’intensité lumineuse

• Les symboles dimensionnels des sept grandeurs de base sont respectivement T, L, M, I, θ, N et J.

Compléments

📐 Formule — D’après la deuxième loi de Newton, la force vérifie $[F]=M\,L\,T^{-2}$.

📐 Formule — L’énergie cinétique a pour dimension $[E_c]=M\,L^2\,T^{-2}$.

💡 Astuce mémo

T-L-M-I-θ-N-J : les sept dimensions de base.

📖 3. Homogénéité des équations physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Homogénéité : Impose que les deux membres d’une égalité physique aient la même dimension.

★ À maîtriser

📌 Une relation, une formule ou une équation non homogène est nécessairement fausse et doit être corrigée.

Compléments

• La vérification de l’homogénéité permet de détecter et de corriger de nombreuses erreurs dans les formules physiques.

• Pour deux résistances en dérivation, la résistance équivalente s’écrit correctement $R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

💡 Astuce mémo

Dimensions incompatibles → formule nécessairement fausse.

📖 4. Analyse dimensionnelle et lois d’échelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi d’échelle : Relie les grandeurs caractéristiques d’un phénomène physique à partir de leurs dimensions, en considérant généralement qu’une constante sans dimension est de l’ordre de l’unité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une chute libre sans vitesse initiale, le temps de chute dépend de la hauteur h, de la masse m et de l’accélération de la pesanteur g selon $t=k\,h^\alpha m^\beta g^\gamma$.

📐 Formule — L’identification des exposants donne $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=0$ et $\gamma=-\frac{1}{2}$.

📐 Formule — La loi dimensionnelle du temps de chute est $t=k\sqrt{\frac{h}{g}}$.

• Pour déterminer une loi par analyse dimensionnelle, on postule une dépendance entre les grandeurs, on exprime leurs dimensions, on identifie les exposants, puis on obtient la forme de la loi.

Compléments

• Dans l’exemple de la chute libre, la constante sans dimension k ne peut pas être déterminée par l’analyse dimensionnelle et vaut finalement $\sqrt{2}$ en mécanique.

💡 Astuce mémo

Hypothèse de dépendance → dimensions → identification des exposants → loi.

📖 5. Unités du système international

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité : Étalon choisi pour attribuer une valeur numérique à une grandeur physique, selon la relation longueur = mesure × unité.

★ À maîtriser

📌 Depuis la révision de mai 2019, toutes les unités sont définies à partir de constantes fondamentales de la physique dont les valeurs numériques sont fixées exactement.

• Les unités SI des sept grandeurs de base sont:
  • la seconde (s)
  • le mètre (m)
  • le kilogramme (kg)
  • l’ampère (A)
  • le kelvin (K)
  • la mole (mol)
  • la candela (cd)

Compléments

• Une révision majeure des définitions des étalons d’unité a eu lieu en mai 2019.

💡 Astuce mémo

Dimension = nature physique ; unité = étalon de mesure.

📖 6. Unités dérivées et préfixes

★ À maîtriser

📐 Formule — Un millimètre vaut $1\,\mathrm{mm}=1\times10^{-3}\,\mathrm{m}$ et deux térawatts valent $2\,\mathrm{TW}=2\times10^{12}\,\mathrm{W}$.

📌 Pour obtenir l’unité d’une grandeur dérivée, on détermine d’abord sa dimension, puis on lui associe l’unité correspondante.

Compléments

• Certaines unités non SI continuent d’être utilisées par commodité.

💡 Astuce mémo

Dimension → unité dérivée → multiples ou sous-multiples.

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs et unités SI de base