Fiche de révision : Dipôles RC et RL

📋 Plan du Cours

1. Constitution du dipôle RC
2. Charge du condensateur
3. Induction magnétique et loi de Lenz
4. Auto-induction et bobine
5. Équation différentielle du dipôle RL
6. Réponse du courant dans un dipôle RL
7. Tension et énergie de la bobine
8. Constante de temps et établissement du courant
9. Bobine et inductance
10. Induction et loi de Lenz
11. Réponse du circuit RL série

📖 1. Constitution du dipôle RC

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle RC : Constitué d’une résistance et d’un condensateur montés en série.

📝 Points essentiels

• À tension constante, lorsque la résistance augmente, le courant qui la traverse diminue.

• Le résistor à résistance variable permet de modifier la valeur de sa résistance.

📖 2. Charge du condensateur

★ À maîtriser

• Un condensateur stocke de l’énergie électrique.

• Pendant la charge, le courant dans le dipôle RC est positif ; en régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, le courant est nul et sa tension vaut la tension du générateur.

📐 Formule - La tension du condensateur pendant sa charge est donnée par $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $u_C(0)=0$.

📐 Formule - La tension aux bornes de la résistance pendant la charge est $u_R(t)=Ee^{-t/\tau}$, avec $u_R(0)=E$ et $u_R(t\to\infty)\to 0$.

📐 Formule - La constante de temps du dipôle RC est $\tau=RC$, où R s’exprime en ohms, C en farads et τ en secondes.

Compléments

📌 À tout instant pendant la charge, la somme des tensions aux bornes de la résistance et du condensateur vaut la tension du générateur : $u_R+u_C=E$.

• À la date $t=\tau$, la tension du condensateur atteint environ 0,63 fois sa valeur finale, soit $u_C(\tau)\approx0{,}63E$.

📌 À résistance et capacité inchangées, doubler la tension finale du générateur ne change pas la constante de temps $\tau=RC$ ni la durée correspondant à l’objectif de charge de 63 % de la tension finale.

💡 Astuce mémo

R ou C augmente → la constante de temps augmente → la charge est plus lente.

📖 3. Induction magnétique et loi de Lenz

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction magnétique : Le phénomène par lequel toute variation du champ magnétique à proximité d’une bobine en circuit fermé produit un courant induit.
• Bobine : Un dipôle constitué d’un fil conducteur enroulé sur un support cylindrique et recouvert d’une gaine isolante.
• f.e.m. induite : La f.e.m. délocalisée à l’origine du courant induit.

★ À maîtriser

📌 Selon la loi de Lenz, le sens du courant induit est tel que ses effets s’opposent à la cause qui lui a donné naissance.

Compléments

📌 Dans l’induction magnétique, l’élément qui crée le champ magnétique est l’inducteur et la bobine dans laquelle apparaît le courant induit est l’induit.

📖 4. Auto-induction et bobine

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : Le phénomène dans lequel une bobine est à la fois l’inducteur et l’induit.

★ À maîtriser

• L’auto-induction traduit l’opposition d’une bobine à toute variation du courant qui la traverse.

📐 Formule - La f.e.m. d’auto-induction vérifie $e=-L\frac{di}{dt}$, où L est l’inductance en henrys, i l’intensité en ampères et t le temps en secondes.

Compléments

• Une bobine traversée par un courant électrique variable est le siège d’une auto-induction.

📖 5. Équation différentielle du dipôle RL

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle RL : Constitué d’une bobine associée en série avec un résistor.

★ À maîtriser

• Pour établir l’équation différentielle du dipôle RL, la loi des mailles donne $u_{R_0}+u_B=E$ ; avec $u_{R_0}=R_0i$ et $u_B=L\frac{di}{dt}+ri$, on obtient $L\frac{di}{dt}+(R_0+r)i=E$.

📐 Formule - En posant $R=R_0+r$, la constante de temps est $\tau=\frac{L}{R}=\frac{L}{R_0+r}$ et l’équation différentielle du courant devient $\tau\frac{di}{dt}+i=\frac{E}{R}$.

Compléments

📐 Formule - L’équation différentielle de la tension du résistor s’écrit $\tau\frac{du_{R_0}}{dt}+u_{R_0}=\frac{R_0E}{R}$.

📖 6. Réponse du courant dans un dipôle RL

★ À maîtriser

📐 Formule - Après la fermeture de l’interrupteur à $t=0$, le courant initial est nul et son évolution est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\frac{E}{R_0+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $\tau=\frac{L}{R_0+r}$.

📐 Formule - La tension aux bornes du résistor est $u_{R_0}(t)=\frac{R_0E}{R_0+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et sa valeur maximale est $u_{R_0\max}=\frac{R_0E}{R_0+r}<E$.

Compléments

📌 Pour déterminer graphiquement la constante de temps, l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à l’origine de la courbe du courant et son asymptote vaut $\tau$.

📐 Formule - À $t=\tau$, le courant vaut $i(\tau)=\frac{E}{R}(1-e^{-1})\approx0{,}63\frac{E}{R}=0{,}63I_{\max}$.

📖 7. Tension et énergie de la bobine

🔑 Notions clés & Définitions

• Inductance : Dépend uniquement des caractéristiques de la bobine et caractérise sa capacité à emmagasiner de l’énergie magnétique.

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension aux bornes d’une bobine réelle vérifie $u_B=L\frac{di}{dt}+ri$.

📐 Formule - L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine vaut $E_L=E_m=\frac{1}{2}Li^2$, avec l’énergie en joules, L en henrys et i en ampères.

Compléments

📐 Formule - Pour une bobine idéale d’inductance pure, où $r=0$, la tension vaut $u_B=u_L=L\frac{di}{dt}$.

• La constante de temps $\tau=L/R$ s’exprime en secondes, car L s’exprime en volts-secondes par ampère et R en volts par ampère.

📖 8. Constante de temps et établissement du courant

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de temps : Grandeur qui caractérise la rapidité d’établissement du courant dans un dipôle RL.

★ À maîtriser

📐 Formule - La constante de temps d’un dipôle RL vérifie $\tau=\frac{L}{R_0+r}$.

• Graphiquement, τ se lit soit à l’abscisse de l’intersection entre la tangente à l’origine et l’asymptote, soit à l’abscisse correspondant à 0,63 Imax sur la courbe du courant.

• Le courant est considéré établi lorsqu’il atteint 0,99 Imax, ce qui correspond à une durée d’environ 5τ.

Compléments

• La constante de temps τ s’exprime en secondes, car L/R a pour unité (V·s/A)/(V/A) = s.

• Pour Imax = 4 mA, 0,63 Imax = 2,52 mA et l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 2,52 mA donne τ.

📌 La durée d’établissement augmente si R₀ ou r diminue, ou si L augmente.

📌 Pour t < 5τ, le circuit est en régime transitoire ; pour t ≥ 5τ, il est en régime permanent.

📖 9. Bobine et inductance

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Dipôle constitué d’un fil conducteur enroulé en spires, caractérisé par son inductance L, et qui s’oppose aux variations du courant qui la traverse.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine vérifie $E_m=\frac{1}{2}Li^2$ et est toujours positive.

Compléments

📐 Formule - L’inductance d’une bobine vérifie $L=\frac{\mu N^2S}{\ell}$.

• Dans la relation d’inductance, μ est la perméabilité du noyau, N le nombre de spires, S la section du noyau et ℓ la longueur de la bobine.

• L’inductance L se mesure en henrys (H), avec $1\,\mathrm{H}=1\,\mathrm{V\cdot s/A}$.

• Une bobine réelle possède toujours une résistance interne r, et son inductance peut aller de quelques millihenrys à plusieurs henrys.

• Les bobines sont utilisées dans :

  • les filtres
  • les circuits d’alimentation
  • les moteurs
  • les transformateurs

• Une petite bobine a une inductance d’environ 1 mH à 100 mH, une bobine moyenne de 0,1 H à 1 H et une grande bobine supérieure à 1 H.

📖 10. Induction et loi de Lenz

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction électromagnétique : Apparition d’une force électromotrice lorsqu’un flux magnétique varie à travers une spire ou une bobine.

★ À maîtriser

📌 Selon la loi de Lenz, le sens de la f.é.m. induite s’oppose à la variation du flux magnétique qui lui donne naissance.

📐 Formule - La f.é.m. d’auto-induction d’une bobine vérifie $e=-L\frac{di(t)}{dt}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une spire, la f.é.m. induite vérifie $e=-\frac{d\Phi}{dt}$ et le flux indiqué vérifie $\Phi=BS\cos(\theta)$.

📐 Formule - Pour une bobine de N spires, la f.é.m. induite vérifie $e=-N\frac{d\Phi}{dt}$, avec $\Phi=BS\cos(\theta)$ le flux magnétique à travers une spire.

📌 Lorsqu’un aimant s’approche et que le flux augmente, le courant induit crée un champ qui s’oppose à cette augmentation ; lorsqu’il s’éloigne et que le flux diminue, le champ s’oppose à cette diminution.

• La tension aux bornes d’une bobine vérifie $u_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$ ; si le courant est constant, cette tension est nulle.

💡 Astuce mémo

Aimant approché : flux en hausse ; aimant éloigné : flux en baisse, et le courant induit s’oppose toujours à la variation.

📖 11. Réponse du circuit RL série

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un circuit RL série avec résistance interne r, le courant vérifie $L\frac{di(t)}{dt}+(R_0+r)i(t)=E$ et $i(t)=\frac{E}{R_0+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $\tau=\frac{L}{R_0+r}$.

• Avec une résistance interne r, le courant limite vaut $I_{\max}=\frac{E}{R_0+r}$.

📌 À la fermeture du circuit, la bobine s’oppose aux variations rapides du courant par auto-induction, de sorte que le courant augmente progressivement vers sa valeur limite au lieu de s’établir instantanément.

Compléments

📐 Formule - Dans un circuit RL série sans résistance interne prise en compte, le courant vérifie $L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=E$.

📐 Formule - Dans le circuit avec résistance R₀ et résistance interne r, les tensions vérifient $u_{R_0}(t)=\frac{R_0E}{R_0+r}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et $u_B(t)=\frac{rE}{R_0+r}+\frac{R_0E}{R_0+r}e^{-t/\tau}$.

• Une inductance pure correspond au cas où la résistance interne de la bobine est nulle, soit r = 0 ; les expressions du circuit avec résistance interne se réduisent alors au cas idéal.

💡 Astuce mémo

Le courant part de zéro, croît vers sa limite, puis atteint pratiquement cette limite à 5τ.