Fiche de révision : Dynamique et lois de Newton

📋 Plan du Cours

1. Quantité de mouvement et lois de Newton
2. Applications des lois de Newton
3. Cinématique du mouvement circulaire
4. Frottement et virages
5. Directions des forces de frottement
6. Repères accélérés et forces d’inertie
7. Travail et forces conservatives
8. Énergie cinétique et potentielle
9. Conservation de l’énergie
10. Puissance et rendement
11. Loi de gravitation de Newton
12. Applications de la gravitation
13. Lois de Kepler
14. Énergie potentielle gravitationnelle

📖 1. Quantité de mouvement et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un objet de masse m et de vitesse $\vec v$ est $\vec p=m\vec v$, et son unité est $\mathrm{kg\cdot m/s}$.

★ À maîtriser

📌 La quantité de mouvement totale d’un système isolé est conservée.

📌 La première loi de Newton, ou loi d’inertie, affirme que si $\vec F_{\mathrm{res}}=\vec 0$, alors la vitesse est constante.

📐 Formule - La deuxième loi de Newton s’écrit $\vec F_{\mathrm{res}}=\frac{d\vec p}{dt}$, avec $[\vec F_{\mathrm{res}}]=\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$.

📐 Formule - Lorsque la masse est constante, la deuxième loi de Newton devient $\vec F_{\mathrm{res}}=m\vec a$.

📐 Formule - La troisième loi de Newton, ou loi d’action-réaction, s’écrit $\vec F_{1\to2}=-\vec F_{2\to1}$.

Compléments

📐 Formule - La quantité de mouvement totale d’un système est la somme des quantités de mouvement de ses constituants : $\vec p_{\mathrm{tot}}=\sum_i \vec p_i=\sum_i m_i\vec v_i$.

📐 Formule - La force résultante sur une masse est la somme vectorielle des forces qui agissent sur elle : $\vec F_{\mathrm{res}}=\sum_i\vec F_i$.

📐 Formule - Comme $\vec p=m\vec v$, la variation de la quantité de mouvement vérifie $\frac{d\vec p}{dt}=\frac{dm}{dt}\vec v+m\frac{d\vec v}{dt}$.

📖 2. Applications des lois de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour l’homme et la balance dans l’ascenseur à vitesse constante, l’équilibre de l’homme donne $F_{H\to B}=F_{g,H}$.

📐 Formule - Dans l’ascenseur accéléré vers le haut, l’effort de l’homme sur la balance vaut $F_{H\to B}=m_H(g+a)$, et la cabine exerce $F_{C\to B}=(m_H+m_B)(g+a)$.

Compléments

• Dans l’exemple du train, les deux wagons accélèrent ensemble avec la même accélération, et leurs équations de mouvement permettent de relier les forces de traction et de frottement.

📐 Formule - Pour le wagon 2 de masse $m_2$, l’équation donnée est $m_2a=F_{T12}-F_{f2}$, avec $F_{f2}=\mu F_{N2}$ et $F_{N2}=m_2g$.

📐 Formule - Dans l’exemple du train, l’égalité des forces d’interaction entre les wagons conduit à $F_{T12}=F_{T21}=m_2(a+\mu g)$.

📖 3. Cinématique du mouvement circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : La période $T$ est la durée d’un cycle et s’exprime en secondes.

★ À maîtriser

📐 Formule - En mouvement circulaire uniforme, $T$, $f$ et $\omega$ sont constants, avec $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ et $v=\omega r$.

• En mouvement circulaire uniforme, la norme de la vitesse reste constante, mais la direction de son vecteur change, donc le mouvement est accéléré.

📐 Formule - L’accélération centripète est dirigée vers le centre et sa norme vaut $a=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$.

📐 Formule - La force centripète nécessaire au mouvement circulaire uniforme vérifie $F=ma=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r$ et constitue la force résultante.

Compléments

📐 Formule - La fréquence $f$, ou $\nu$, est l’inverse de la période : $f=\frac{1}{T}$, et son unité est $\mathrm{s^{-1}}=\mathrm{Hz}$.

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire, la vitesse orbitale vérifie $v=\frac{2\pi r}{T}$.

📐 Formule - La vitesse angulaire moyenne est $\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$ et sa valeur instantanée est $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$.

📐 Formule - L’accélération angulaire moyenne est $\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ et sa valeur instantanée est $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$.

• La force centripète peut provenir de :
  • la traction dans une corde
  • une force de frottement
  • la force de gravité

📖 4. Frottement et virages

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une pente, l’adhésion statique avec vitesse nulle exige $F_{\mathrm{frott}}\leq\mu_0F_N$ et conduit à $\alpha\leq\arctan(\mu_0)$.

📐 Formule - Dans un virage plat avec frottement, la vitesse maximale vérifie $v\leq\sqrt{\mu_0rg}$ lorsque la force de frottement fournit la force centripète.

📐 Formule - Dans un virage incliné sans frottement, la vitesse satisfait $v=\sqrt{rg\tan(\alpha)}$.

📐 Formule - Dans un virage incliné avec frottement, la vitesse maximale vaut $v_{\max}=\sqrt{\frac{(\mu_0+\tan(\alpha))gr}{1-\mu_0\tan(\alpha)}}$.

Compléments

📐 Formule - Dans l’analyse du virage incliné avec frottement, la force centripète est $F_c=F_{\mathrm{frott}}\cos(\alpha)+F_N\sin(\alpha)$ et l’équilibre vertical donne $mg=F_N\cos(\alpha)-F_{\mathrm{frott}}\sin(\alpha)$.

• À basse vitesse dans un virage incliné avec frottement, la force de frottement est orientée vers le haut de la pente.

📖 5. Directions des forces de frottement

📝 Points essentiels

• Pour un pied en appui, la force exercée par le sol sur la masse se décompose en force normale et force de frottement, tandis que la résultante inclut aussi le poids.

📐 Formule - Pour un pied en appui, la force de frottement peut être la seule force horizontale résultante, de sorte que $\|\vec F_{\mathrm{res}}\|=\|\vec F_f\|$ en accélération ou décélération.

📐 Formule - À vitesse constante avec une force extérieure, la force extérieure compense le frottement : $\vec F_{\mathrm{ext}}=-\vec F_f$.

📐 Formule - Pour une roue qui adhère au sol, la force exercée par le sol sur la masse se décompose en $\vec F_{\mathrm{sol}\to m}=\vec F_N+\vec F_f$, et la résultante inclut le poids.

• Pour une roue en mouvement uniforme, l’accélération et l’accélération angulaire sont nulles, la résultante des forces et la résultante des moments sont nulles, et la vitesse ainsi que la vitesse angulaire sont constantes.

• Une roue qui adhère au sol combine translation et rotation, et sa déformation est signalée.

💡 Astuce mémo

Au pied, le frottement propulse ou freine ; à la roue qui adhère, il accompagne translation et rotation.

📖 6. Repères accélérés et forces d’inertie

★ À maîtriser

📌 Pour appliquer les lois de Newton dans un repère accéléré, il faut ajouter des forces d’inertie, dont l’origine ne peut pas être justifiée comme celle des forces motrices ou de frottement.

• Dans l’exemple du disque en rotation, la force centripète est la résultante dans le repère d’inertie, tandis que la force centrifuge est la force d’inertie ajoutée dans le repère accéléré pour obtenir une résultante nulle.

📐 Formule - La force de Coriolis est la force d’inertie $\vec F_i'=-2m\,\vec\omega\times\vec v'$.

• La déviation liée à la force de Coriolis est vers la droite dans l’hémisphère nord et vers la gauche dans l’hémisphère sud.

Compléments

• La valeur d’une force d’inertie dépend de la masse de l’objet ; pour deux masses avec la même accélération de repère, la masse la plus grande exige une force d’inertie plus grande.

• En météorologie, une variation de pression entraîne une force, puis une accélération et une variation de vitesse : $\Delta p\Rightarrow F\Rightarrow a\Rightarrow\Delta v$.

• À l’équateur, l’air chaud monte, ce qui crée une basse pression et un vent dominant vers l’ouest ; en zone tempérée, l’air froid descend, ce qui crée une haute pression et un vent dominant vers l’est.

💡 Astuce mémo

Repère accéléré → forces d’inertie ajoutées pour appliquer les lois de Newton.

📖 7. Travail et forces conservatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Le travail d’une force sur un trajet de A à B est l’intégrale curviligne de son produit scalaire avec le déplacement, $W_{AB}=\int_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec x$.
• Force conservative : Force dont le travail entre deux positions ne dépend pas du chemin ni du temps de parcours.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une force constante et un déplacement rectiligne, $W_{AB}=\vec F\cdot\vec x_{AB}=F x_{AB}\cos(\alpha)$, où $\alpha$ est l’angle entre la force et le déplacement.

Compléments

• Le travail s’exprime en joules, avec $1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N\cdot m}=1\,\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$.

📌 Une force dont le travail dépend du chemin est non conservative, tandis qu’une force dont le travail n’en dépend pas est conservative.

📖 8. Énergie cinétique et potentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie cinétique d’une masse $m$ animée d’une vitesse $v$ vaut $E_{\mathrm{cin}}=\frac12 mv^2$.

📐 Formule - Pour toutes les forces, le travail total est égal à la variation d’énergie cinétique, $W=\Delta E_{\mathrm{cin}}$.

Compléments

📐 Formule - Près de la surface terrestre, l’énergie potentielle de pesanteur est $E_{\mathrm{pot}}=mgz$ pour une altitude $z$ choisie comme référence.

📐 Formule - Pour un ressort de constante $k$ et d’allongement $x$, l’énergie potentielle élastique vaut $E_{\mathrm{pot}}=\frac12kx^2$.

📖 9. Conservation de l’énergie

★ À maîtriser

• L’énergie totale d’un système isolé est conservée.

📐 Formule - Lorsque toutes les forces sont conservatives, l’énergie mécanique se conserve : $\Delta E_{\mathrm{cin}}+\Delta E_{\mathrm{pot}}=0$.

Compléments

📐 Formule - Avec des forces conservatives et non conservatives, la variation d’énergie cinétique vérifie $\Delta E_{\mathrm{cin}}=W_c+W_{nc}$, et la variation d’énergie potentielle vérifie $\Delta E_{\mathrm{pot}}=-W_c$.

📐 Formule - Pour un système soumis à un travail externe et à un apport de chaleur externe, $W_{\mathrm{ext}}+Q_{\mathrm{ext}}=\Delta E_{\mathrm{tot}}$.

• L’énergie interne comprend l’énergie de liaison et l’énergie liée à la température.

📖 10. Puissance et rendement

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance moyenne est le travail fourni pendant un intervalle divisé par sa durée, $\bar P=\frac{\Delta W}{\Delta t}$.

📐 Formule - Pour une force constante, la puissance instantanée vaut $P=\vec F\cdot\vec v$.

📐 Formule - Le rendement est le rapport de la puissance utile à la puissance reçue, $\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}$, et vérifie $0\leq\eta\leq1$.

Compléments

• La puissance s’exprime en watts, avec $1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J/s}$, et $1\,\mathrm{kWh}=3{,}6\cdot10^6\,\mathrm{J}$.

• Les puissances indiquées pour plusieurs heures sont de 100 W pour un homme, 1 CH = 735,5 W pour un cheval, 30 kW pour une voiture typique et 1 GW électrique pour une centrale nucléaire alimentant un million d’hommes.

📖 11. Loi de gravitation de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule - La force gravitationnelle entre deux masses est donnée par $F_G=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$, avec $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}$.

📐 Formule - À la surface terrestre, l’accélération de la pesanteur vérifie $g=\frac{GM_T}{r_T^2}$ et vaut 9,81 m/s².

Compléments

📐 Formule - La masse terrestre peut être déterminée par $M_T=\frac{g r_T^2}{G}$ ou, à partir de l’orbite lunaire, par $M_T=\frac{4\pi^2d^3}{GT^2}$.

📖 12. Applications de la gravitation

★ À maîtriser

📐 Formule - La période d’un satellite à l’altitude $h$ vérifie $T=\sqrt{\frac{4\pi^2(r_T+h)^3}{GM_T}}$.

Compléments

• Pour une orbite à 400 km d’altitude, la période calculée est 5 550 s, soit 1,54 h.

• Un satellite géostationnaire a une période de 24 h, un rayon orbital d’environ 4,22·10⁷ m et une altitude d’environ 3,59·10⁷ m.

📌 Dans un système binaire, les deux astres suivent des ellipses, le centre de gravité se trouvant dans un foyer de chaque ellipse, et leurs distances au centre de gravité vérifient $m_1r_1=m_2r_2$.

📖 13. Lois de Kepler

★ À maîtriser

• La première loi de Kepler indique que les orbites possibles sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, l’astre central se trouvant dans un foyer.

• La deuxième loi de Kepler stipule que des surfaces égales sont balayées pendant des intervalles de temps égaux.

📐 Formule - La troisième loi de Kepler s’écrit $\frac{a^3}{T^2}=\frac{G(M+m)}{4\pi^2}\simeq\frac{GM}{4\pi^2}$ lorsque $M\gg m$.

Compléments

• Les lois de Kepler sont des conséquences de la loi de gravitation de Newton.

📖 14. Énergie potentielle gravitationnelle

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie potentielle gravitationnelle d’une masse $m$ à la distance $r$ d’une masse $M$, en choisissant zéro à l’infini, vaut $E_{\mathrm{pot}}=-\frac{GMm}{r}$.

📐 Formule - L’énergie mécanique gravitationnelle vaut $E_{\mathrm{méc}}=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}$.

📌 Un objet est libre si son énergie mécanique est positive ou nulle, tandis qu’il est lié si son énergie mécanique est négative.

Compléments

📐 Formule - La vitesse de libération à la distance $r$ est $v_l=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$, correspondant à une énergie mécanique nulle.

📐 Formule - La vitesse d’une orbite circulaire à la distance $r$ est $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$, et son énergie mécanique vaut $-\frac{GMm}{2r}$.

• Selon la vitesse, l’orbite est circulaire pour $v=v_1$, elliptique pour $v_1<v<v_2$, parabolique pour $v=v_2$ et hyperbolique pour $v>v_2$.