Fiche de révision : Résistance des matériaux et statique

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et domaine de la résistance des matériaux
2. Actions mécaniques et torseurs
3. Réduction et transport des torseurs
4. Liaisons entre solides
5. Équilibre et résolution statique
6. Degré d’hyperstatisme

📖 1. Objectifs et domaine de la résistance des matériaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance des matériaux : Étude des solides déformables afin de prévoir comment un système résiste et se déforme sous l’action des charges appliquées.

★ À maîtriser

• La mécanique des structures vise à empêcher la rupture sous les actions mécaniques ou thermiques appliquées et à optimiser la quantité de matière utilisée.

📌 Sous une charge modérée, la déformation est élastique et réversible, tandis qu’au-delà d’une certaine valeur elle devient plastique et irréversible.

Compléments

• La RDM1 vise à dimensionner une structure de type poutre soumise à des sollicitations simples.

• 🔄 Le dimensionnement suit les étapes suivantes :

  1. Déterminer le torseur des efforts intérieurs
  2. En déduire la contrainte maximale
  3. Déterminer les déformations
  4. Calculer les déplacements

📖 2. Actions mécaniques et torseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Action mécanique : Action extérieure qui peut mettre un solide en mouvement si elle n’est pas équilibrée et peut aussi le déformer.

★ À maîtriser

📌 Un torseur statique représente une action mécanique par une résultante indépendante du point et un moment dépendant du point.

Compléments

• La résultante d’une force s’exprime en newtons, avec $[F]=M.L.T^{-2}$.

• Le moment d’une force s’exprime en newtons-mètres, avec $[M]=M.L^2.T^{-2}$.

• Pour une pression uniforme sur une surface plane, la résultante vaut $\vec R=pS\vec u$, où $\vec u$ est unitaire, perpendiculaire à la surface et dirigé du fluide vers celle-ci.

• La résultante de l’action de la pesanteur sur un solide est son poids, $\vec R=m\vec g$.

📖 3. Réduction et transport des torseurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une action distribuée sur une surface, la résultante est $\vec R=\int_S d\vec f$ et le moment au point A est $\vec M_A=\int_S \overrightarrow{AP}\wedge d\vec f$.

📌 Les torseurs d’actions mécaniques s’additionnent en additionnant leurs résultantes et leurs moments, à condition qu’ils soient exprimés au même point.

📐 Formule - Le transport du moment d’un torseur du point A au point B vérifie $\vec M_B=\vec M_A+\overrightarrow{BA}\wedge\vec R$.

Compléments

📐 Formule - Pour une action distribuée dans un volume, la résultante est $\vec R=\int_V d\vec f$ et le moment au point A est $\vec M_A=\int_V \overrightarrow{AP}\wedge d\vec f$.

• Le moment de l’action de pesanteur au point A vaut $\vec M_A=m\overrightarrow{AG}\wedge\vec g$, où G est le centre de masse.

📖 4. Liaisons entre solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Liaison : Relation entre solides qui diminue le nombre de mouvements relatifs possibles et ne transmet un effort au centre que si le mouvement relatif correspondant est bloqué.
• Problème plan : Un problème est plan si le système possède un plan de symétrie et si le chargement possède la même symétrie.

📝 Points essentiels

• Les actions de liaison sont représentées par un torseur dont la forme est connue au centre de la liaison, et les représentations des liaisons sont normalisées par les normes NF EN ISO 3952-1 et NF E 04-015.

• Dans un problème plan, les déplacements possibles sont les translations suivant x et y et la rotation suivant z, tandis que les actions mécaniques comprennent les forces suivant x et y et le couple suivant z.

• Les quatre liaisons importantes sont :
  • l’appui simple
  • le pivot
  • la glissière
  • l’encastrement

📖 5. Équilibre et résolution statique

★ À maîtriser

📌 Le principe fondamental de la statique impose que la somme des torseurs des actions extérieures sur un système soit nulle.

• En trois dimensions, le PFS fournit six équations indépendantes : trois pour la résultante et trois pour le moment.

• Dans un problème plan, le PFS fournit trois équations indépendantes : deux pour la résultante et une pour le moment.

Compléments

📌 Un système est isostatique lorsque le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations indépendantes, hypostatique lorsqu’il est inférieur et hyperstatique lorsqu’il est supérieur.

📖 6. Degré d’hyperstatisme

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système spatial de n solides, le degré d’hyperstatisme vaut $h=N_R-6(n-1)+\mu_u+\mu_i$.

📐 Formule - Pour un système plan de n solides, le degré d’hyperstatisme vaut $h=N_R-3(n-1)+\mu_u+\mu_i$, en excluant de $N_R$ les inconnues de liaison hors du plan.

Compléments

• Pour un système de n solides, on peut isoler n−1 solides et écrire n−1 PFS.

📌 Le signe de h distingue les systèmes : h=0 correspond à l’isostatisme, h>0 à l’hyperstatisme et h<0 à l’hypostatisme.

📊 Tableaux de synthèse

Équations du PFS selon le problème