Fiche de révision : Résistance des matériaux des poutres

📋 Plan du Cours

1. Géométrie et matériaux des poutres
2. Hypothèse de Navier-Bernoulli
3. Cohésion et torseur de coupe
4. Sollicitations dans une poutre
5. Vecteur contrainte et composantes
6. Calcul des efforts intérieurs
7. Diagrammes des efforts intérieurs

📖 1. Géométrie et matériaux des poutres

🔑 Notions clés & Définitions

• Poutre : Solide élancé engendré par une section plane Σ, orthogonale à la ligne moyenne Γ décrite par les centres de gravité des sections.

★ À maîtriser

• Les poutres étudiées sont planes, droites et à section symétrique par rapport au plan (G, x⃗, y⃗), de sorte qu’elles sont définies par leur section et leur ligne moyenne.

• Les matériaux considérés sont élastiques linéaires : leurs déformations après chargement sont réversibles et la relation entre déformation et chargement est linéaire.

Compléments

📌 Une poutre est plane si sa ligne moyenne est contenue dans un plan, et droite si sa ligne moyenne est une droite.

📌 Les calculs de RDM sont limités à des chargements suffisamment faibles pour que le comportement du matériau reste linéaire.

📖 2. Hypothèse de Navier-Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Gauchissement : Le gauchissement désigne le cas où une section de poutre ne reste pas plane après déformation.

📝 Points essentiels

📌 Selon l’hypothèse de Navier-Bernoulli, une section initialement plane et perpendiculaire à la ligne moyenne reste plane et perpendiculaire à celle-ci après déformation.

💡 Astuce mémo

Section plane conservée, contrairement à une section qui gauchit

📖 3. Cohésion et torseur de coupe

🔑 Notions clés & Définitions

• Efforts de cohésion : Les actions mécaniques d’une partie de la poutre sur l’autre qui assurent la cohésion de la matière.

★ À maîtriser

📌 Le torseur de cohésion représente les actions mécaniques d’une partie de la poutre sur l’autre et peut être déterminé par le PFS appliqué à l’une des parties isolées.

Compléments

• Pour déterminer les efforts de cohésion, on effectue une coupe fictive de la poutre par un plan passant par G, ce qui sépare la poutre en deux parties Ω1 et Ω2 le long de la section droite Σ.

📐 Formule - Pour la partie Ω1, le torseur de cohésion vérifie $\{\tau_{Coh}\}_G=-\{\tau_{ext\to\Omega_1}\}_G$, et pour Ω2 il vérifie $\{\tau_{Coh}\}_G=\{\tau_{ext\to\Omega_2}\}_G$.

📌 Par convention, le torseur de cohésion est celui des actions de la partie droite sur la partie gauche, dans le sens de l’axe x⃗.

• Le torseur de cohésion est exprimé au centre de gravité G de la section Σ, et la position de la coupe est repérée par l’abscisse x sur la ligne moyenne.

• Le torseur de cohésion est caractérisé par la résultante R⃗(x) et le moment résultant M⃗G(x), qui dépendent de la section repérée par x.

📖 4. Sollicitations dans une poutre

★ À maîtriser

• Dans une poutre droite d’axe x⃗, les six sollicitations sont l’effort normal N(x), les efforts tranchants Ty(x) et Tz(x), le moment de torsion Mt(x), et les moments fléchissants Mfy(x) et Mfz(x).

• Dans un problème plan, les sollicitations restantes sont :

  • l’effort normal N(x)
  • l’effort tranchant Ty(x)
  • le moment fléchissant Mfz(x)

Compléments

• Les sollicitations sont les composantes scalaires du torseur de cohésion dans le repère local (G, x⃗, y⃗, z⃗) et varient avec l’abscisse x le long de la ligne moyenne.

📖 5. Vecteur contrainte et composantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Contrainte : L’action mécanique locale entre deux particules, représentée par un vecteur contrainte en chaque point de la section.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le vecteur contrainte au point M relativement à la normale unitaire n⃗ est défini par $\vec{\sigma}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to 0}\frac{d\vec{F}}{dS}$.

📌 Le vecteur contrainte se décompose en une contrainte normale σ selon n⃗ et une contrainte tangentielle τ selon le vecteur unitaire tangent t⃗, orthogonal à n⃗.

Compléments

📐 Formule - La résultante et le moment résultant du torseur de cohésion s’écrivent $\vec{R}=\int_{\Sigma}\vec{\sigma}\,dS$ et $\vec{M}_G=\int_{\Sigma}\overrightarrow{GM}\wedge\vec{\sigma}\,dS$.

• La contrainte s’exprime en pascals, équivalents à des newtons par mètre carré (N·m⁻²).

📐 Formule - Pour une poutre droite d’axe x⃗, le vecteur contrainte s’écrit $\vec{\sigma}(M,\vec{x})=\sigma_x\vec{x}+\tau_{xy}\vec{y}+\tau_{xz}\vec{z}$.

• Les contraintes σx, τxy et τxz dépendent de la section de la poutre où elles sont calculées.

📖 6. Calcul des efforts intérieurs

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans l’exemple, l’effort normal est nul sur toute la poutre : $N(x)=0\quad\forall x\in[0,L]$.

📐 Formule - Dans l’exemple, l’effort tranchant vaut $T_y(x)=-\frac{2}{3}F$ pour x∈[0,L/3] et $T_y(x)=\frac{1}{3}F$ pour x∈]L/3,L].

📐 Formule - Dans l’exemple, le moment fléchissant vaut $M_{fz}(x)=\frac{2}{3}Fx$ pour x∈[0,L/3] et $M_{fz}(x)=\frac{1}{3}F(L-x)$ pour x∈]L/3,L].

Compléments

• La résolution de l’exemple consiste à vérifier si le problème est plan et isostatique, déterminer les inconnues de liaison, puis calculer le torseur de cohésion sur deux intervalles séparés par x=L/3.

💡 Astuce mémo

Équilibre global → inconnues de liaison → coupes successives

📖 7. Diagrammes des efforts intérieurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme des efforts intérieurs : Un diagramme des efforts intérieurs représente les variations des composantes du torseur de cohésion le long de la poutre et permet de visualiser les sections les plus sollicitées.