Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes développée et canonique
2. Variations et extremum
3. Discriminant et résolution des équations
4. Factorisation des polynômes du second degré
5. Signe et inéquations du second degré

📖 1. Formes développée et canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont réels et $a\ne0$, est une fonction polynôme du second degré, aussi appelée fonction trinôme du second degré.
• Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, appelée forme canonique, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Forme développée : L’écriture $f(x)=ax^2+bx+c$ d’une fonction polynôme du second degré est appelée sa forme développée.

📝 Points essentiels

• Les identités remarquables utiles au développement sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

• Pour déterminer la forme canonique à partir de la forme développée, on identifie $a$, $b$ et $c$, on calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, puis on remplace ces valeurs dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

💡 Astuce mémo

La forme développée expose les coefficients ; la forme canonique expose le sommet.

📖 2. Variations et extremum

★ À maîtriser

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$, la fonction décroît sur $]-\infty;\alpha]$ puis croît sur $[\alpha;+\infty[$.

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$, $\beta$ est le minimum de la fonction, atteint en $x=\alpha$.

Compléments

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a<0$, $\beta$ est le maximum de la fonction, atteint en $x=\alpha$.

• Pour étudier les variations d’une fonction polynôme du second degré, on identifie ses coefficients, on calcule $\alpha$ et, si le tableau est demandé, $\beta=f(\alpha)$, on applique le théorème selon le signe de $a$, puis on dresse le tableau de variations.

💡 Astuce mémo

Parabole vers le haut : minimum ; vers le bas : maximum.

📖 3. Discriminant et résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.
• Équation du second degré : Une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$, est une équation du second degré.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de solutions réelles de $ax^2+bx+c=0$ dépend de $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, l’unique solution est $x_0=\frac{-b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, les solutions sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Pour résoudre une équation du second degré, on identifie a, b et c dans la forme $ax^2+bx+c=0$, on calcule $\Delta=b^2-4ac$, puis on choisit les solutions selon le signe de Δ.

Compléments

• Si b = 0, si c = 0 ou si une identité remarquable est reconnue, il est inutile de calculer le discriminant pour résoudre l’équation.

💡 Astuce mémo

Δ négatif : aucune racine réelle ; Δ positif : deux racines réelles

📖 4. Factorisation des polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Factoriser une expression littérale consiste à transformer une somme ou une différence de termes en un produit de facteurs.

★ À maîtriser

📐 Formule - La factorisation du polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du signe de Δ : si $\Delta<0$, il n’a pas de factorisation de la forme étudiée ; si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec x₀ racine ; si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec x₁ et x₂ racines.

• Pour factoriser un polynôme du second degré à l’aide du discriminant, on identifie a, b et c, on calcule Δ, on détermine les racines si elles existent, puis on choisit la forme factorisée correspondant au signe de Δ.

Compléments

• Pour factoriser une expression, on peut mettre en évidence un facteur commun ou utiliser une identité remarquable.

• Le polynôme $-3x^2-3x+6$ a pour racines 1 et −2 et se factorise en $-3(x-1)(x+2)$.

📖 5. Signe et inéquations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Une inéquation de la forme $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c\geq0$, $ax^2+bx+c<0$ ou $ax^2+bx+c\leq0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$, est une inéquation du second degré.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend de Δ : si $\Delta<0$, f est toujours du signe de a ; si $\Delta=0$, f est du signe de a de part et d’autre de son unique racine x₀ et s’annule en x₀ ; si $\Delta>0$, avec $x_1<x_2$, f est du signe de a à l’extérieur des racines, s’annule en chacune et est du signe opposé à a entre elles.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on établit le tableau de signes du polynôme associé, puis on détermine l’ensemble des valeurs qui vérifient l’inéquation.

Compléments

• Si $\Delta>0$, le polynôme est du signe de a à l’extérieur de ses deux racines.

• Pour $f(x)=-2x^2-12x-16$, les racines sont −4 et −2 et le tableau de signes donne $f(x)\leq0$ pour $x\in]-\infty;-4]\cup[-2;+\infty[\,$ .

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des deux racines, le signe suit celui de a ; entre elles, il s’inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du discriminant