Fiche de révision : Travail énergie puissance et gravitation

📋 Plan du Cours

1. Quantité de mouvement et lois de Newton
2. Cinématique du mouvement circulaire
3. Accélération et force centripètes
4. Adhérence et virages
5. Direction des forces de frottement
6. Repères accélérés et forces d’inertie
7. Force de Coriolis et météorologie
8. Travail et formes d’énergie
9. Conservation de l’énergie
10. Puissance et rendement
11. Gravitation et lois de Kepler
12. Énergie potentielle gravitationnelle

📖 1. Quantité de mouvement et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un objet de masse m et de vitesse vectorielle $\vec v$ est $\vec p=m\vec v$ et s’exprime en kg·m/s.

★ À maîtriser

📌 La quantité de mouvement totale d’un système isolé est conservée.

📐 Formule - La troisième loi de Newton s’écrit $\vec F_{1\to2}=-\vec F_{2\to1}$ : les forces d’interaction sont opposées.

📐 Formule - La deuxième loi de Newton relie la force résultante à la variation temporelle de la quantité de mouvement : $\vec F_{res}=\frac{d\vec p}{dt}$.

📐 Formule - Pour une masse constante, la deuxième loi s’écrit $\vec F_{res}=m\vec a$.

Compléments

📐 Formule - La quantité de mouvement totale d’un système est la somme des quantités de mouvement de ses éléments : $\vec p_{tot}=\sum_i\vec p_i=\sum_i m_i\vec v_i$.

📐 Formule - La force résultante est la somme vectorielle des forces appliquées : $\vec F_{res}=\sum_i\vec F_i$.

📌 Selon la première loi de Newton, si la force résultante est nulle, la vitesse reste constante.

📐 Formule - Si la masse varie, la deuxième loi donne $\vec F_{res}=\frac{dm}{dt}\vec v+m\frac{d\vec v}{dt}$ ; cette forme est à prendre en compte pour les fusées.

📖 2. Cinématique du mouvement circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence f, également notée ν, est l’inverse de la période : $f=\frac{1}{T}$, et s’exprime en hertz, soit s⁻¹.
• Période : La période T est la durée d’un cycle et s’exprime en secondes.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon r et de période T, la vitesse orbitale vaut $v=\frac{2\pi r}{T}$.

📐 Formule - La vitesse angulaire moyenne sur un intervalle est $\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}$ et la vitesse angulaire instantanée est $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$ ; son unité est s⁻¹.

📐 Formule - L’accélération angulaire moyenne est $\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ et l’accélération angulaire instantanée est $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ ; son unité est s⁻².

📖 3. Accélération et force centripètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération centripète : L’accélération centripète est l’accélération dirigée vers le centre du cercle, de norme $a=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$.
• Force centripète : La force centripète est la force résultante nécessaire au mouvement circulaire uniforme et sa norme vaut $F=ma=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire est $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$.

📐 Formule - La vitesse linéaire et la vitesse angulaire d’un mouvement circulaire sont liées par $v=\omega r$.

📌 En mouvement circulaire uniforme, la norme de la vitesse instantanée reste constante, mais sa direction change avec le temps ; le mouvement est donc accéléré.

Compléments

• Dans un mouvement circulaire uniforme, la période et la fréquence sont constantes.

• La force centripète peut provenir :

  • de la traction d’une corde
  • du frottement
  • de la gravité

💡 Astuce mémo

Changement de direction de la vitesse → accélération centripète.

📖 4. Adhérence et virages

★ À maîtriser

• Sur une pente où l’objet adhère sans glisser, la condition de frottement statique conduit à $\tan(\alpha)\leq\mu_0$, soit $\alpha\leq\arctan(\mu_0)$.

• Dans un virage à plat avec frottement, en négligeant la force aérodynamique, le frottement fournit la force centripète et la vitesse maximale vérifie $v\leq\sqrt{\mu_0rg}$.

• Dans un virage en pente sans frottement, la force centripète résulte de la gravité et de la force normale, et la vitesse vérifie $v=\sqrt{rg\tan(\alpha)}$.

Compléments

📌 Dans un virage en pente avec frottement, la vitesse maximale est $v_{max}=\sqrt{\frac{(\mu_0+\tan(\alpha))gr}{1-\mu_0\tan(\alpha)}}$.

💡 Astuce mémo

À plat, le frottement fournit la force centripète ; en pente sans frottement, la normale la fournit.

📖 5. Direction des forces de frottement

★ À maîtriser

📌 Une roue qui adhère au sol combine translation et rotation, et son contact avec le sol implique une déformation.

📌 Pour une roue qui adhère au sol, le frottement statique est distingué du frottement de roulement et de la force aérodynamique.

Compléments

📌 Pour un pied en contact avec le sol, le frottement statique est distingué du frottement cinétique et de la force aérodynamique.

• Pour un pied sur le sol, la force exercée par le sol sur la masse est la somme de la force normale et de la force de frottement.

• Dans les situations d’accélération ou de décélération représentées pour un pied au sol, la norme de la force résultante est égale à celle de la force de frottement.

📌 À vitesse constante pour un pied sur le sol, la force extérieure peut équilibrer le frottement : $\vec F_{ext}=-\vec F_f$.

📌 À vitesse et vitesse angulaire constantes pour la roue représentée, l’accélération linéaire et l’accélération angulaire sont approximativement nulles, de même que la force et le moment résultants.

💡 Astuce mémo

Le frottement statique accompagne l’adhérence ; le frottement de roulement et l’aérodynamique sont représentés par une force extérieure.

📖 6. Repères accélérés et forces d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Force centrifuge : Dans un repère accéléré en rotation, la force d’inertie supplémentaire qui permet d’avoir une force résultante nulle sur la boule est appelée force centrifuge.

★ À maîtriser

📌 Dans un repère accéléré, il faut ajouter des forces d’inertie pour imposer la validité des lois de Newton, contrairement à la description dans un repère d’inertie.

Compléments

• L’origine des forces d’inertie ne peut pas être justifiée comme celle des forces motrices ou de frottement.

• La force d’inertie nécessaire dépend de la masse : pour des accélérations égales, l’objet de masse supérieure nécessite une force d’inertie supérieure.

📖 7. Force de Coriolis et météorologie

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Coriolis : Pour une boule éjectée du centre d’un disque en rotation et se déplaçant sans frottement, la force d’inertie est $\vec F_i'=-2m\vec\omega\times\vec v'$ et est appelée force de Coriolis.

★ À maîtriser

📌 La déviation indiquée par l’effet de Coriolis est vers la droite dans l’hémisphère nord et vers la gauche dans l’hémisphère sud.

Compléments

• 🔄 La chaîne causale est :

  1. une différence de pression
  2. une force
  3. une accélération
  4. une variation de vitesse

• À l’équateur, l’air chaud monte, ce qui entraîne une basse pression et un vent dominant vers l’ouest.

• Dans la zone tempérée, l’air froid descend, ce qui entraîne une haute pression et un vent dominant vers l’est.

📖 8. Travail et formes d’énergie

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail d’une force le long d’une courbe $\mathcal C$ entre A et B vaut $W_{AB}=\int_{\mathcal C}\vec F\cdot d\vec x$.

📌 Une force est conservative si son travail entre deux positions ne dépend pas du chemin ni du temps de parcours ; sinon, elle est non conservative.

📐 Formule - Pour toutes les forces, le travail vaut la variation d’énergie cinétique : $W=\Delta E_{\mathrm{cin}}$.

📐 Formule - Pour une force conservative, le travail vaut l’opposé de la variation d’énergie potentielle : $W=-\Delta E_{\mathrm{pot}}$.

📐 Formule - L’énergie cinétique d’une masse $m$ animée d’une vitesse $v$ vaut $E_{\mathrm{cin}}=\frac12mv^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour une force constante et un déplacement rectiligne, le travail vaut $W_{AB}=\vec F\cdot\vec x_{AB}=F x_{AB}\cos(\alpha)$, où $\alpha$ est l’angle entre la force et le déplacement.

• L’unité du travail et de l’énergie est le joule, avec $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\cdot m}=1\,\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$.

• En mécanique, l’énergie est présentée comme la capacité de fournir du travail et peut prendre différentes formes qui se transforment entre elles.

📐 Formule - Près de la surface terrestre, l’énergie potentielle de pesanteur est $E_{\mathrm{pot}}=mgz$.

📐 Formule - Pour un ressort de constante $k$ étiré d’une distance $x$, l’énergie potentielle élastique vaut $E_{\mathrm{pot}}=\frac12kx^2$.

💡 Astuce mémo

Travail indépendant du chemin : conservative ; dépendant du chemin : non conservative.

📖 9. Conservation de l’énergie

★ À maîtriser

📌 L’énergie totale d’un système isolé est conservée.

📐 Formule - Lorsque toutes les forces sont conservatives, l’énergie mécanique se conserve : $\Delta E_{\mathrm{cin}}+\Delta E_{\mathrm{pot}}=0$.

📐 Formule - Dans le bilan général présenté, le travail externe et la chaleur externe modifient l’énergie totale selon $W_{\mathrm{ext}}+Q_{\mathrm{ext}}=\Delta E_{\mathrm{tot}}$.

Compléments

📐 Formule - Avec des forces conservatives et non conservatives, la variation d’énergie cinétique vaut la somme de leurs travaux : $\Delta E_{\mathrm{cin}}=W_c+W_{nc}$.

📐 Formule - L’énergie cinétique totale peut inclure les contributions de translation et de rotation : $E_{\mathrm{cin}}=\frac12mv^2+\frac12\Theta\omega^2$.

• L’énergie interne comprend l’énergie de liaison et l’énergie liée à la température.

📐 Formule - Pour une force de frottement, le travail est égal à l’opposé de la variation d’énergie interne : $W_{(F_f)}=-\Delta U$.

💡 Astuce mémo

Forces conservatives seules → énergie mécanique conservée ; frottements → variation d’énergie interne.

📖 10. Puissance et rendement

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance moyenne est le travail fourni divisé par la durée : $\bar P=\frac{\Delta W}{\Delta t}$.

📐 Formule - Pour une force constante, la puissance s’écrit $P=\vec F\cdot\vec v$.

📐 Formule - Le rendement est le rapport entre la puissance utile en sortie et la puissance reçue en entrée : $\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}$, avec $0\leq\eta\leq1$.

Compléments

📐 Formule - La puissance instantanée est la dérivée du travail par rapport au temps : $P=\frac{dW}{dt}$.

• L’unité de puissance est le watt, avec $1\,\mathrm W=1\,\mathrm{J/s}$.

📖 11. Gravitation et lois de Kepler

★ À maîtriser

📐 Formule - La force gravitationnelle entre deux masses $m_1$ et $m_2$ séparées par une distance $r$ a pour valeur $F_G=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$.

• Les orbites possibles selon la première loi de Kepler sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, l’astre central se trouvant à l’un des foyers.

📌 La deuxième loi de Kepler stipule que des aires égales sont balayées pendant des intervalles de temps égaux.

📐 Formule - La troisième loi de Kepler s’écrit $\frac{a^3}{T^2}=\frac{G(M+m)}{4\pi^2}\simeq\frac{GM}{4\pi^2}$ lorsque $M\gg m$, où $a$ est le demi-grand axe et $T$ la période.

Compléments

• La constante gravitationnelle vaut $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}$.

📐 Formule - À la surface terrestre, la pesanteur vérifie $g=\frac{GM_T}{r_T^2}$ et vaut environ $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

📐 Formule - La période d’un satellite de rayon orbital $r_T+h$ vérifie $T=\sqrt{\frac{4\pi^2(r_T+h)^3}{GM_T}}$.

• Un satellite géostationnaire a une période de 24 h et un rayon orbital d’environ $4{,}22\cdot10^7\,\mathrm m$, soit 6,63 fois le rayon terrestre, pour une altitude de $3{,}59\cdot10^7\,\mathrm m$.

• Dans un système binaire, les solutions décrites pour les étoiles sont des ellipses et le centre de gravité se trouve à l’un des foyers de chaque ellipse.

📐 Formule - Dans un système binaire, les distances des deux étoiles au centre de gravité vérifient $m_1r_1=m_2r_2$.

• Les lois de Kepler sont des conséquences de la loi de Newton pour la gravitation.

💡 Astuce mémo

Orbites → aires → périodes : les trois lois de Kepler.

📖 12. Énergie potentielle gravitationnelle

★ À maîtriser

📐 Formule - Près de la surface terrestre, l’énergie potentielle gravitationnelle est approximée par $E_{\mathrm{pot}}=mgh$.

📐 Formule - À une distance $r$ d’une masse $M$, en choisissant une constante additive nulle, l’énergie potentielle gravitationnelle vaut $E_{\mathrm{pot}}=-\frac{GMm}{r}$.

📐 Formule - L’énergie mécanique gravitationnelle est la somme $E_{\mathrm{méc}}=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r}$.

Compléments

📌 Un objet gravitationnel est libre si son énergie mécanique est positive ou nulle et lié si elle est négative.

📐 Formule - La vitesse de libération à la distance $r$ vérifie $v_l=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$.

📐 Formule - La vitesse sur une orbite circulaire de rayon $r$ vaut $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$, et l’énergie mécanique correspondante est $E_{\mathrm{méc}}=-\frac{GMm}{2r}<0$.

📌 Pour une vitesse égale à $v_1$, la trajectoire est circulaire ; entre $v_1$ et $v_2$, elle est elliptique ; égale à $v_2$, elle est parabolique ; supérieure à $v_2$, elle est hyperbolique.

💡 Astuce mémo

Proche de la Terre : $mgh$ ; gravitation générale : $-GMm/r$.