Fiche de révision : Électrostatique et interactions électriques

📋 Plan du Cours

1. Charges et distributions de charge
2. Loi de Coulomb et champ ponctuel
3. Potentiel et énergie électrostatiques
4. Distributions et superposition
5. Lignes de champ et équipotentielles
6. Symétries du champ électrique
7. Circulation et Maxwell-Faraday
8. Flux et théorème de Gauss
9. Équations de Poisson et Laplace
10. Dipôle électrostatique
11. Interactions moléculaires
12. Condensateur plan et énergie
13. Modèle de noyau chargé
14. Analogie électrostatique-gravitationnelle

📖 1. Charges et distributions de charge

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité volumique de charge : est définie par $\rho(\vec r,t)=\frac{dq}{d\tau}$ et s’exprime en $\mathrm{C\,m^{-3}}$.

★ À maîtriser

• À l’échelle atomique, la charge électrique est quantifiée en multiples de la charge élémentaire $e \approx 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

📐 Formule — La charge totale contenue dans un volume V vérifie $Q_{\mathrm{tot}}=\iiint_V\rho(P,t)\,d\tau$.

Compléments

• Une distribution surfacique vérifie $dq=\sigma\,dS$ avec $\sigma$ en $\mathrm{C\,m^{-2}}$, tandis qu’une distribution linéique vérifie $dq=\lambda\,dl$ avec $\lambda$ en $\mathrm{C\,m^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

Ponctuelle à l’échelle atomique, continue aux échelles mésoscopique et macroscopique

📖 2. Loi de Coulomb et champ ponctuel

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique : créé par une charge ponctuelle q située en P au point M est $\vec E(M)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec u_{P\to M}$, avec $r=PM$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi de Coulomb donne la force exercée par une charge ponctuelle q₁ sur une charge q₂ : $\vec F_{1\to2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec u_{1\to2}$.

💡 Astuce mémo

Charge source → champ électrique → force sur une charge test

📖 3. Potentiel et énergie électrostatiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle q à la distance r est $V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$, à une constante additive près.

📐 Formule — Le champ électrostatique et le potentiel sont liés par $\vec E=-\operatorname{grad}V$.

📐 Formule — L’énergie potentielle d’une charge q placée dans un potentiel V est $E_p=qV$.

Compléments

📌 Le travail de la force électrique entre A et B vaut $W_{A\to B}=E_p(A)-E_p(B)=-\Delta E_p$, car la force électrostatique est conservative.

💡 Astuce mémo

Le champ agit par force, le potentiel décrit l’énergie par charge

📖 4. Distributions et superposition

★ À maîtriser

📐 Formule — Le principe de superposition donne $\vec E(M)=\sum_i\vec E_i(M)$ et le potentiel total est la somme des potentiels individuels.

📐 Formule — Pour une distribution volumique de densité ρ, le champ électrique est $\vec E(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_D\rho(P)\frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}\,d\tau$.

Compléments

📐 Formule — Le potentiel créé par une distribution volumique est $V(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_D\frac{\rho(P)}{PM}\,d\tau$.

💡 Astuce mémo

Charge élémentaire → intégration → champ et potentiel totaux

📖 5. Lignes de champ et équipotentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de champ : est une courbe tangente en tout point au champ électrostatique et orientée dans le sens du champ.
• Surface équipotentielle : est le lieu des points où le potentiel électrostatique est constant.

📝 Points essentiels

📌 Les lignes de champ divergent à partir d’une charge positive et convergent vers une charge négative.

📌 Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.

💡 Astuce mémo

Lignes de champ orientées vers les potentiels décroissants, équipotentielles perpendiculaires

📖 6. Symétries du champ électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de symétrie : est un plan de symétrie d’une distribution de charges si deux points symétriques par rapport à ce plan portent des charges égales.
• Plan d’antisymétrie : est un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges si deux points symétriques par rapport à ce plan portent des charges opposées.

📝 Points essentiels

📌 Sur un plan de symétrie de la distribution, le champ électrostatique appartient au plan.

📌 Sur un plan d’antisymétrie de la distribution, le champ électrostatique est perpendiculaire au plan.

💡 Astuce mémo

Plan de symétrie : champ dans le plan ; plan d’antisymétrie : champ perpendiculaire

📖 7. Circulation et Maxwell-Faraday

🔑 Notions clés & Définitions

• Circulation : d’un champ de vecteurs $\vec A$ le long d’un chemin orienté de A à B est $C=\int_\Gamma\vec A\cdot d\vec M$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La circulation du champ électrostatique entre A et B vaut $\int_A^B\vec E\cdot d\vec M=V(A)-V(B)$.

📌 Sur tout contour fermé, la circulation du champ électrostatique est nulle : $\oint\vec E\cdot d\vec M=0$.

📐 Formule — L’équation locale de Maxwell-Faraday en électrostatique est $\operatorname{rot}\vec E=\vec 0$.

💡 Astuce mémo

Rotationnel nul → circulation conservative → potentiel électrique

📖 8. Flux et théorème de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux électrique : du champ électrique à travers une surface orientée S est $\Phi=\iint_S\vec E\cdot d\vec S$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation locale de Maxwell-Gauss est $\operatorname{div}\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule — Le théorème de Gauss affirme que le flux sortant à travers une surface fermée vaut $\oiint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$.

Compléments

📌 Une surface de Gauss est efficace lorsque le champ lui est perpendiculaire et uniforme au moins en norme sur la partie utile de la surface.

💡 Astuce mémo

Charge enfermée → flux électrique à travers la surface fermée

📖 9. Équations de Poisson et Laplace

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation de Poisson pour le potentiel électrostatique est $\Delta V+\frac{\rho}{\varepsilon_0}=0$.

📐 Formule — Dans une région où la densité de charge est nulle, l’équation de Poisson devient l’équation de Laplace $\Delta V=0$.

💡 Astuce mémo

Charges présentes : Poisson ; région sans charge : Laplace

📖 10. Dipôle électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrostatique : est constitué de deux charges ponctuelles opposées q et −q, avec q>0, séparées par une distance d petite devant les autres dimensions étudiées.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le moment dipolaire électrique est le vecteur $\vec p=q\,\overrightarrow{NP}$.

📐 Formule — À grande distance d’un dipôle, son potentiel vaut approximativement $V(r,\theta)=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{\vec p\cdot\overrightarrow{OM}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$.

📐 Formule — L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur vaut $E_p=-\vec p\cdot\vec E_{\mathrm{ext}}$.

Compléments

📐 Formule — Le moment des forces exercées sur un dipôle dans un champ extérieur est $\vec M=\vec p\wedge\vec E_{\mathrm{ext}}$.

💡 Astuce mémo

Deux charges opposées séparées par un petit segment, formant une flèche dipolaire

📖 11. Interactions moléculaires

★ À maîtriser

• La solvatation entoure un ion de molécules de solvant, écrante sa charge et forme une deuxième sphère de solvatation autour de la première.

📐 Formule — Une molécule non polaire plongée dans un champ extérieur acquiert un moment dipolaire induit vérifiant $\vec p=\alpha\varepsilon_0\vec E_{\mathrm{ext}}$.

📐 Formule — L’énergie potentielle d’une molécule polarisable dans un champ extérieur est $E_p=-\frac12\alpha\varepsilon_0E_{\mathrm{ext}}^2$.

• Les forces de Van der Waals comprennent: les forces de Keesom entre dipôles permanents, les forces de Debye entre un dipôle permanent et un dipôle induit, les forces de London entre dipôles induits

Compléments

• La polarisabilité α est homogène à un volume et son ordre de grandeur est celui du volume de la molécule.

💡 Astuce mémo

Keesom : permanent-permanent ; Debye : permanent-induit ; London : induit-induit

📖 12. Condensateur plan et énergie

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le champ créé par un plan infini uniformément chargé de densité surfacique σ vaut $\vec E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z$ au-dessus du plan et $\vec E=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z$ au-dessous.

📐 Formule — Entre les armatures d’un condensateur plan idéal chargé avec +σ et −σ, le champ est uniforme et vaut $\vec E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z$, tandis qu’il est nul à l’extérieur.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan de surface S et d’écartement e est $C=\frac{\varepsilon_0S}{e}$.

📐 Formule — La densité volumique d’énergie électrostatique dans un condensateur plan est $u_E=\frac12\varepsilon_0E^2$.

💡 Astuce mémo

Deux armatures opposées → champ uniforme → capacité et énergie stockée

📖 13. Modèle de noyau chargé

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un noyau sphérique uniformément chargé de rayon R, le champ intérieur vaut $\vec E(r<R)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\vec e_r$.

📐 Formule — À l’extérieur du noyau sphérique, le champ vaut $\vec E(r>R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec e_r$, comme si toute la charge était concentrée au centre.

Compléments

📐 Formule — La charge totale d’un noyau sphérique uniformément chargé est $Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^3$.

📐 Formule — L’énergie de constitution d’une distribution sphérique uniformément chargée est $E_p=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$.

💡 Astuce mémo

À l’intérieur le champ croît avec r ; à l’extérieur il décroît comme 1/r²

📖 14. Analogie électrostatique-gravitationnelle

★ À maîtriser

📌 La force électrostatique peut être attractive ou répulsive selon les signes des charges, tandis que la force gravitationnelle est toujours attractive entre deux masses positives.

📐 Formule — Le champ gravitationnel créé par une masse m est $\vec G(M)=-\mathcal G\frac{m}{r^2}\vec u_{P\to M}$ et la force gravitationnelle vérifie $\vec F=m_1\vec G$.

📐 Formule — À l’extérieur d’une planète homogène, le champ gravitationnel vaut $\vec G(r>R)=-\mathcal G\frac{M_T}{r^2}\vec e_r$, comme si toute la masse était concentrée au centre.

Compléments

📐 Formule — Le théorème de Gauss gravitationnel s’écrit $\oiint_S\vec G\cdot d\vec S=-4\pi\mathcal G\,M_{\mathrm{int}}$.

📐 Formule — À l’intérieur d’une planète homogène, le champ gravitationnel vaut $\vec G(r<R)=-\frac{4\pi\mathcal G\rho_{\mathrm{masse}}}{3}r\vec e_r$.

💡 Astuce mémo

Charges de signes opposés possibles, masses toujours attractives

📊 Tableaux de synthèse

Équations locales de l’électrostatique

Comparaison des champs sphériques