Fiche de révision : Éléments de logique mathématique

📋 Plan du Cours

1. Organisation et programme du cours
2. Propositions et négation
3. Connecteurs logiques fondamentaux
4. Implication et équivalence
5. Lois logiques et contraposée
6. Techniques de démonstration

📖 1. Organisation et programme du cours

📝 Points essentiels

• Le programme comprend sept parties:

  • éléments de logique
  • ensembles
  • applications
  • relations d’ordre
  • récurrence
  • arithmétique dans Z
  • polynômes

• La première session comporte un examen de 2 heures prévu la semaine du 14 décembre 2026.

• La deuxième session comporte un examen de 2 heures prévu la première semaine de juin 2027.

📐 Formule — La note de première session est $\max\left(EX1,\frac{EX1+DS}{2}\right)$, où EX1 est la note de l’examen de première session et DS celle du devoir surveillé.

📖 2. Propositions et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé dont on peut affirmer s’il est vrai ou faux et auquel on associe la valeur de vérité Vrai ou Faux.
• Négation : Proposition vraie si P est fausse et fausse si P est vraie ; elle se note non P ou ¬P.

📝 Points essentiels

📌 Un théorème est une proposition importante, un lemme prépare d’autres propositions et un corollaire est une conséquence immédiate d’une autre proposition.

💡 Astuce mémo

Proposition vraie ou fausse ; sa négation inverse toujours la valeur de vérité.

📖 3. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Connecteur logique : Opérateur qui associe une troisième proposition à deux propositions P et Q.
• Conjonction : Vraie lorsque P et Q sont vraies simultanément et fausse dans les autres cas.
• Disjonction : Fausse uniquement lorsque P et Q sont fausses simultanément et vraie dans les autres cas ; le « ou » est inclusif.

📝 Points essentiels

• Il existe 16 connecteurs logiques possibles entre deux propositions, car la proposition résultante peut prendre deux valeurs pour chacune des quatre combinaisons de valeurs de P et Q.

📖 4. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Proposition (non P) ou Q et elle est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse.
• Équivalence logique : P et Q ont la même valeur de vérité, et P ⇔ Q est vraie dans ce cas.

📝 Points essentiels

📌 Pour montrer que P ⇔ Q est vraie, il faut démontrer simultanément P ⇒ Q et Q ⇒ P.

• Pour démontrer directement P ⇒ Q, on suppose P vraie puis on montre que Q est vraie.

💡 Astuce mémo

L’implication échoue dans un seul cas ; l’équivalence exige deux implications.

📖 5. Lois logiques et contraposée

📝 Points essentiels

• L’implication P ⇒ Q est logiquement équivalente à sa contraposée (non Q) ⇒ (non P).

• L’implication est transitive : si P ⇒ Q et Q ⇒ R sont vraies, alors P ⇒ R est vraie.

• Les lois de De Morgan donnent non(P ou Q) ⇔ (non P) et (non Q), ainsi que non(P et Q) ⇔ (non P) ou (non Q).

💡 Astuce mémo

Nier la conclusion et l’antécédent transforme une implication en contraposée équivalente.

📖 6. Techniques de démonstration

★ À maîtriser

• Une preuve par contraposée démontre (non Q) ⇒ (non P) au lieu de démontrer directement P ⇒ Q.

• Une preuve par l’absurde suppose P vraie et Q fausse lorsqu’on veut montrer P ⇒ Q, puis conduit à une contradiction.

Compléments

• Pour montrer que la somme de deux entiers impairs est paire, on écrit x = 2k + 1 et y = 2l + 1, puis x + y = 2(k + l + 1).

• Le raisonnement par récurrence démontre des assertions qui dépendent d’un entier naturel.

💡 Astuce mémo

Directe, contraposée, absurde, puis récurrence.

📊 Tableaux de synthèse

Principaux connecteurs logiques