Fiche de révision : Rappels sur les vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Définition et égalité des vecteurs
2. Somme et décomposition vectorielle
3. Milieu et médiane
4. Colinéarité et alignement
5. Coordonnées et norme
6. Colinéarité analytique
7. Équations des droites

📖 1. Définition et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme, représenté par une flèche et caractérisant une translation.
• Norme d’un vecteur : Longueur AB du segment [AB].
• Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, ce qui équivaut à ce que le quadrilatère formé par leurs extrémités soit un parallélogramme éventuellement aplati.

💡 Astuce mémo

DSN : direction, sens, norme

📖 2. Somme et décomposition vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition vectorielle : Si deux vecteurs non colinéaires $\vec i$ et $\vec j$ sont donnés, tout vecteur $\vec u$ du plan s’écrit $\vec u=a\vec i+b\vec j$ avec deux réels a et b.

📝 Points essentiels

📌 Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

💡 Astuce mémo

A vers B, puis B vers C : A vers C

📖 3. Milieu et médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Un point I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

📝 Points essentiels

📌 Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

💡 Astuce mémo

Milieu du segment → somme des vecteurs nulle

📖 4. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire si leurs droites supports sont parallèles.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel non nul k tel que $\vec u=k\vec v$.

📌 Les points distincts A, B et C sont alignés si et seulement s’il existe un réel non nul k tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

Colinéarité des vecteurs ≠ alignement des points, mais l’une permet de tester l’autre

📖 5. Coordonnées et norme

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A$(x_A;y_A)$ et B$(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📐 Formule — Pour un vecteur $\vec u(x;y)$, la norme est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux points A et B, la distance vérifie $\|\overrightarrow{AB}\|=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

💡 Astuce mémo

Soustraire les coordonnées, puis appliquer la distance

📖 6. Colinéarité analytique

📝 Points essentiels

• Pour vérifier que A, B et C sont alignés, on étudie la colinéarité éventuelle de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

📖 7. Équations des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Vecteur qui possède la même direction que cette droite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute droite admet une équation cartésienne $ax+by+c=0$, où a, b et c sont réels et a et b ne sont pas simultanément nuls.

📐 Formule — Toute droite a une équation réduite de la forme $y=mx+p$ ou $x=x_0$, où m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine dans le premier cas.

📌 Deux droites d’équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles si et seulement si $ab'-a'b=0$.

Compléments

• Pour une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$, le vecteur $(-b;a)$ est un vecteur directeur de d.

💡 Astuce mémo

Cartésienne : ax+by+c=0 ; réduite : y=mx+p ou x=x₀

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’équations de droites