Fiche de révision : Ensembles de nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Opérations sur les fractions
3. Puissances et règles de calcul
4. Droite et ordre des réels
5. Intervalles et inégalités

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls : $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;...\}$.
• Nombres relatifs : Les nombres relatifs sont les entiers négatifs, positifs ou nuls : $\mathbb{Z}=\{...;-2;-1;0;1;2;...\}$.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels sont les nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
• Nombres réels : Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels, comme $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$ et $\pi$.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — La division par un réel non nul revient à multiplier par son inverse : $a\div b=a\times\frac{1}{b}$.

📐 Formule — Le quotient de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

📐 Formule — La somme de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$.

Compléments

• La division $\frac{12}{7}\div\frac{3}{2}$ donne $\frac{8}{7}$ après multiplication par l’inverse et simplification.

💡 Astuce mémo

Diviser par un réel non nul → multiplier par son inverse

📖 3. Puissances et règles de calcul

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel non nul $a$, on a $a^0=1$.

📐 Formule — Le produit de puissances de même base vérifie $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

📐 Formule — Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📐 Formule — Pour tout réel non nul $a$, une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

Compléments

📐 Formule — La puissance d’un produit vérifie $(ab)^n=a^n\times b^n$.

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne ; quotient : on soustrait les exposants

📖 4. Droite et ordre des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe réel : À tout point d’un axe gradué, défini par une origine et une unité, correspond un unique nombre réel.

★ À maîtriser

• L’ensemble des réels peut se noter sous la forme de l’intervalle $]-\infty;+\infty[$.

Compléments

• Les nombres réels sont ordonnés des nombres infiniment petits $-\infty$ aux nombres infiniment grands $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée où chaque point porte un unique nombre réel

📖 5. Intervalles et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle ouvert : L’intervalle ouvert $]a;b[\, est l’ensemble des réels$x$tels que$a<x<b$$.
• Intervalle fermé : L’intervalle fermé $[a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b$.

★ À maîtriser

📌 L’intervalle $[a;b[\, correspond à$a\leq x<b$, tandis que$]a;b]$correspond à$a<x\leq b$$.

📌 Un intervalle non borné possède toujours un crochet ouvert du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$.

Compléments

• Les intervalles usuels vérifient $\mathbb{R}^+=[0;+\infty[\,$, $\mathbb{R}^-=]-\infty;0]$, $\mathbb{R}^{++}=]0;+\infty[\,$ et $\mathbb{R}^{--}=]-\infty;0[$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres