QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 18 questions

Question 1

1. À quelle période remontent les premières traces de dénombrement associées aux entailles sur les os d’Ishango ?

À environ 5 000 ans, avec les premières tablettes mésopotamiennes

À l’Antiquité grecque, après l’apparition de l’écriture alphabétique

Au XIXe siècle, lors de l’invention des nombres complexes

À environ 20 000 ans, avant les premières traces d’écriture

Explication

Les entailles sur les os d’Ishango sont interprétées comme des dénombrements datant d’environ 20 000 ans, avant les premières traces d’écriture. Les tablettes mésopotamiennes sont bien plus récentes, puisqu’elles datent d’environ 5 000 ans.

Answer

À environ 20 000 ans, avant les premières traces d’écriture

Question 2

2. Quelle comparaison décrit correctement les dimensions des nombres réels et des nombres étudiés par Hamilton puis Cayley ?

Les réels sont de dimension 1, tandis que les autres sont de dimensions 4 et 8

Les réels sont de dimension 8, tandis que les autres sont de dimensions 1 et 4

Les réels et les autres nombres sont tous de dimension 1

Les réels sont de dimension 4, tandis que les autres sont de dimensions 1 et 8

Explication

Les nombres réels ont une dimension 1, tandis que Hamilton puis Cayley ont introduit des nombres de dimensions 4 et 8. La confusion consiste à attribuer aux nombres réels les dimensions supérieures étudiées au XIXe siècle.

Answer

Les réels sont de dimension 1, tandis que les autres sont de dimensions 4 et 8

Question 3

3. Quelle opération n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

2-3

2+3

3\times 2

2+2

Explication

Dans $\mathbb{N}$ , l’addition et la multiplication restent dans l’ensemble, mais $2-3=-1$ n’est pas un entier naturel. La division $3\div 2$ fournit également un résultat qui n’appartient pas à $\mathbb{N}$ , mais elle n’est pas proposée ici.

Answer

$$-3\div 2$$ n’appartient pas à $$\mathbb{Z}$$

Answer

Comme l’ensemble des réels compris entre des bornes sur une droite graduée

Answer

$$[a\ ;\ b[$$

Answer

Un intervalle qui ne contient aucun nombre réel

Answer

Il appartient simultanément à $$A$$ et à $$B$$

Answer

Leur somme est égale à zéro.

Answer

Ils sont inverses, car leur produit vaut $$1$$.

Answer

L’ensemble $$\mathbb{N}$$ des entiers naturels.

Answer

$$\frac{-12348}{10^4}$$

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$$

Answer

Les abscisses des points d’une droite graduée

Answer

$$x^2+1=0$$

Question 4

4. Quelle affirmation est correcte dans l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ?

2-3

n’appartient pas à

\mathbb{Z}

-3\times 2

n’appartient pas à

\mathbb{Z}

-3\div 2

n’appartient pas à

\mathbb{Z}

2+3

n’appartient pas à

\mathbb{Z}

Explication

La division $-3\div 2=-1,5$ ne donne pas un entier relatif, donc elle sort de $\mathbb{Z}$ . En revanche, l’addition, la soustraction et la multiplication des entiers proposés donnent des entiers relatifs.

Question 5

5. Comment peut-on définir un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

Comme l’ensemble des réels compris entre des bornes sur une droite graduée

Comme l’ensemble des réels situés à distance fixe de deux bornes

Comme l’ensemble des entiers naturels compris entre deux valeurs

Comme l’ensemble des nombres dont le produit dépasse une borne donnée

Explication

Un intervalle de $\mathbb{R}$ regroupe des nombres réels compris entre des bornes sur une droite graduée, par exemple dans un segment ou une demi-droite. Les autres descriptions concernent des ensembles différents ou des conditions qui ne définissent pas un intervalle général.

Question 6

6. Quelle notation représente l’ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x<b$ ?

[a\ ;\ b[

]a\ ;\ b[

[a\ ;\ b]

]a\ ;\ b]

Explication

La notation $[a\ ;\ b[$ inclut la borne $a$ et exclut la borne $b$ , ce qui correspond à $a\leq x<b$ . Les crochets indiquent l’inclusion d’une borne, tandis que les parenthèses signalent son exclusion.

Question 7

7. Que représente l’ensemble vide $\varnothing$ lorsqu’il est considéré comme un intervalle ?

Un intervalle contenant tous les nombres réels

Un intervalle contenant uniquement les nombres entiers

Un intervalle qui ne contient aucun nombre réel

Un intervalle limité à sa borne inférieure

Explication

L’ensemble vide $\varnothing$ est l’intervalle qui ne contient aucun nombre réel. Il ne doit pas être confondu avec $\mathbb{R}$ , qui contient tous les réels, ni avec un intervalle non vide limité par des bornes.

Question 8

8. Si un réel appartient à $A\cap B$ , que peut-on conclure ?

Il appartient à

A

ou à

B

, sans condition sur l’autre ensemble

Il appartient à la réunion des bornes de

A

et de

B

Il appartient simultanément à

A

et à

B

Il appartient à l’ensemble qui possède le plus grand intervalle

Explication

L’intersection $A\cap B$ rassemble les réels appartenant simultanément aux deux intervalles. L’appartenance à $A$ ou à $B$ correspond plutôt à l’union $A\cup B$ , qui accepte l’appartenance à l’un des deux ensembles ou aux deux.

Question 9

9. Quel symbole représente l’infini sans appartenir à l’alphabet grec ?

∞

λ

ω

π

Explication

Le symbole $∞$ représente l’infini et a été créé par Wallis en 1665. Les symboles $π$ , $λ$ et $ω$ sont des lettres grecques.

Question 10

10. Lequel de ces symboles est une lettre grecque correspondant à la lettre « bêta » ?

√

β

∞

%

Explication

La lettre grecque bêta s’écrit $β$ . Le symbole $∞$ désigne l’infini, tandis que $√$ et $%$ sont des symboles mathématiques.

Question 11

11. Quelle condition permet de reconnaître deux nombres réels opposés ?

Leur quotient est égal à un.

Leur somme est égale à zéro.

Leur produit est égal à un.

Leur différence est égale à zéro.

Explication

Deux nombres opposés ont une somme nulle, comme $2 + (-2) = 0$ . Un produit égal à $1$ caractérise plutôt deux nombres inverses.

Question 12

12. Les nombres $4$ et $0,25$ sont-ils opposés ou inverses ?

Ils sont distincts, car leur différence vaut

1

.

Ils sont égaux, car leur quotient vaut

1

.

Ils sont inverses, car leur produit vaut

1

.

Ils sont opposés, car leur somme vaut

0

.

Explication

Ces deux nombres sont inverses puisque $4 \times 0,25 = 1$ . Ils ne sont pas opposés, car leur somme vaut $4,25$ et non $0$ .

Question 13

13. Quel ensemble de nombres est utilisé principalement pour dénombrer des objets ?

L’ensemble

\mathbb{Z}

des entiers relatifs.

L’ensemble

\mathbb{D}

des nombres décimaux.

L’ensemble

\mathbb{Q}

des nombres rationnels.

L’ensemble

\mathbb{N}

des entiers naturels.

Explication

Les entiers naturels servent à dénombrer et comprennent $0, 1, 2, 3, \ldots$ . Les autres ensembles regroupent des nombres selon des propriétés plus larges, notamment les nombres négatifs ou rationnels.

Question 14

14. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

12

5

-3

0

Explication

L’entier $-3$ appartient à $\mathbb{Z}$ , qui contient les entiers négatifs, mais pas à $\mathbb{N}$ . Les nombres $0$ , $5$ et $12$ appartiennent aux entiers naturels.

Question 15

15. Laquelle de ces écritures définit un nombre décimal selon la forme $\frac{a}{10^n}$ , avec $a$ entier relatif et $n$ naturel ?

\sqrt{2}

\frac{-12348}{10^4}

\frac{1}{3}

\frac{\pi}{10}

Explication

L’écriture $\frac{-12348}{10^4}$ respecte la forme $\frac{a}{10^n}$ avec un entier relatif $a$ et un naturel $n$ . Les autres expressions ne garantissent pas une écriture décimale finie de cette forme.

Question 16

16. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D}

\mathbb{D} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

\mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

Explication

Les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les nombres décimaux puis dans les rationnels. La chaîne correcte est donc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .

Question 17

17. Quelle définition décrit correctement l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

Les abscisses des points d’une droite graduée

Les nombres qui s’écrivent comme quotient de deux entiers

Les solutions réelles de toute équation polynomiale

Les nombres entiers positifs et leurs opposés

Explication

Les nombres réels correspondent aux abscisses des points d’une droite graduée et constituent l’ensemble $\mathbb{R}$ . La représentation comme quotient de deux entiers décrit les nombres rationnels, qui forment une partie des réels.

Question 18

18. Laquelle de ces équations ne possède pas de solution dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

2x+3=0

x^2+1=0

x^2-1=0

x^2-4x=0

Explication

L’équation $x^2+1=0$ imposerait $x^2=-1$ , ce qui est impossible pour un nombre réel. L’équation $x^2-1=0$ admet, elle, les solutions réelles $x=1$ et $x=-1$ .

QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. À quelle période remontent les premières traces de dénombrement associées aux entailles sur les os d’Ishango ?

2. Quelle comparaison décrit correctement les dimensions des nombres réels et des nombres étudiés par Hamilton puis Cayley ?

3. Quelle opération n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

4. Quelle affirmation est correcte dans l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ?

5. Comment peut-on définir un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

6. Quelle notation représente l’ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x<b$ ?

7. Que représente l’ensemble vide $\varnothing$ lorsqu’il est considéré comme un intervalle ?

8. Si un réel appartient à $A\cap B$ , que peut-on conclure ?

9. Quel symbole représente l’infini sans appartenir à l’alphabet grec ?

10. Lequel de ces symboles est une lettre grecque correspondant à la lettre « bêta » ?

11. Quelle condition permet de reconnaître deux nombres réels opposés ?

12. Les nombres $4$ et $0,25$ sont-ils opposés ou inverses ?

13. Quel ensemble de nombres est utilisé principalement pour dénombrer des objets ?

14. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

15. Laquelle de ces écritures définit un nombre décimal selon la forme $\frac{a}{10^n}$ , avec $a$ entier relatif et $n$ naturel ?

16. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

17. Quelle définition décrit correctement l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

18. Laquelle de ces équations ne possède pas de solution dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

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QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. À quelle période remontent les premières traces de dénombrement associées aux entailles sur les os d’Ishango ?

2. Quelle comparaison décrit correctement les dimensions des nombres réels et des nombres étudiés par Hamilton puis Cayley ?

3. Quelle opération n’appartient pas à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

4. Quelle affirmation est correcte dans l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}Z ?

5. Comment peut-on définir un intervalle de R\mathbb{R}R ?

6. Quelle notation représente l’ensemble des réels xxx tels que a≤x<ba\leq x<ba≤x<b ?

7. Que représente l’ensemble vide ∅\varnothing∅ lorsqu’il est considéré comme un intervalle ?

8. Si un réel appartient à A∩BA\cap BA∩B, que peut-on conclure ?

9. Quel symbole représente l’infini sans appartenir à l’alphabet grec ?

10. Lequel de ces symboles est une lettre grecque correspondant à la lettre « bêta » ?

11. Quelle condition permet de reconnaître deux nombres réels opposés ?

12. Les nombres 444 et 0,250,250,25 sont-ils opposés ou inverses ?

13. Quel ensemble de nombres est utilisé principalement pour dénombrer des objets ?

14. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}Z mais pas à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N}N ?

15. Laquelle de ces écritures définit un nombre décimal selon la forme a10n\frac{a}{10^n}10na​, avec aaa entier relatif et nnn naturel ?

16. Quelle chaîne d’inclusions entre ensembles de nombres est correcte ?

17. Quelle définition décrit correctement l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}R ?

18. Laquelle de ces équations ne possède pas de solution dans l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}R ?

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4. Quelle affirmation est correcte dans l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ?

5. Comment peut-on définir un intervalle de $\mathbb{R}$ ?

6. Quelle notation représente l’ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x<b$ ?

7. Que représente l’ensemble vide $\varnothing$ lorsqu’il est considéré comme un intervalle ?

8. Si un réel appartient à $A\cap B$ , que peut-on conclure ?

12. Les nombres $4$ et $0,25$ sont-ils opposés ou inverses ?

14. Quel nombre appartient à l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ mais pas à l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ ?

15. Laquelle de ces écritures définit un nombre décimal selon la forme $\frac{a}{10^n}$ , avec $a$ entier relatif et $n$ naturel ?

17. Quelle définition décrit correctement l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

18. Laquelle de ces équations ne possède pas de solution dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?