Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Histoire des nombres et outils
2. Exemples d’opérations numériques
3. Intervalles et opérations ensemblistes
4. Alphabet grec et symboles
5. Opposés et inverses
6. Les ensembles de nombres
7. Réels et limites des équations

📖 1. Histoire des nombres et outils

★ À maîtriser

• L’histoire des nombres remonte à environ 20 000 ans, avant les premières traces d’écriture, avec les entailles sur les os d’Ishango au Congo interprétées comme des dénombrements.

• Au XIXe siècle, Hamilton puis Cayley ont inventé des nombres de dimensions 4 et 8, alors que les nombres réels sont de dimension 1.

Compléments

• Les tablettes mésopotamiennes témoignent de l’utilisation des nombres il y a environ 5 000 ans, notamment la tablette YBC 7289.

💡 Astuce mémo

Ishango → tablettes mésopotamiennes → Hamilton et Cayley

📖 2. Exemples d’opérations numériques

★ À maîtriser

• Dans l’ensemble des entiers naturels, 2+3 et 3×2 appartiennent à N, tandis que 2−3 et 3÷2 n’appartiennent pas à N.

• Dans l’ensemble des entiers relatifs, 2+3, 2−3 et −3×2 appartiennent à Z, tandis que −3÷2 n’appartient pas à Z.

Compléments

• Dans l’ensemble des nombres décimaux, 2,5+3,7=6,2, 2,5−3,7=−1,2 et 2,5×3,7=9,25 appartiennent à D, tandis que 1÷3 n’appartient pas à D.

💡 Astuce mémo

Dans N, Z et D, certaines opérations sortent de l’ensemble

📖 3. Intervalles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des réels compris entre des bornes sur une droite graduée, comme un segment ou une demi-droite.
• Intersection : Ensemble des réels appartenant simultanément à A et à B.
• Union : Ensemble des réels appartenant à A, à B ou aux deux.

★ À maîtriser

• Les notations usuelles des intervalles sont:

  • [a ; b] pour a≤x≤b
  • ]a ; b[ pour a<x<b
  • [a ; b[ pour a≤x<b
  • [a ; +∞[ pour a≤x
  • ]−∞ ; b[ pour x<b

• L’intervalle qui ne contient aucun nombre est l’ensemble vide, noté ∅.

Compléments

• Pour A=]2 ; 4] et B=[5 ; +∞[, on a A∩B=∅ et A∪B=]2 ; 4]∪[5 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée où les crochets ferment ou ouvrent les extrémités

📖 4. Alphabet grec et symboles

📝 Points essentiels

• Le symbole ∞, créé par Wallis en 1665, signifie l’infini et n’est pas une lettre grecque.

• Les lettres grecques comprennent notamment α alpha, β bêta, γ gamma, δ delta, ε epsilon, θ thêta, λ lambda, μ mu, π pi, σ sigma, φ phi, ψ psi et ω oméga.

📖 5. Opposés et inverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres réels dont la somme est nulle, comme 2 et −2.
• Nombres inverses : Deux nombres réels dont le produit vaut 1, comme 2 et 0,5.

💡 Astuce mémo

Opposés : somme nulle ; inverses : produit égal à 1

📖 6. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Servent à dénombrer des objets et forment l’ensemble N={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Entiers relatifs : Indiquent une position relative et forment l’ensemble Z={... ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a entier relatif et n naturel, et forment l’ensemble D.

★ À maîtriser

• Les inclusions entre les ensembles de nombres sont N⊂Z⊂D⊂Q.

Compléments

• Les nombres 1/3, π et √2 ne sont pas des nombres décimaux, tandis que −1,2348, 158 et 5/4 sont des nombres décimaux.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 7. Réels et limites des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Abscisses des points d’une droite graduée et forment l’ensemble R.

★ À maîtriser

• Les équations x²+1=0 et x²=−3 ne peuvent pas être résolues dans l’ensemble des nombres réels R.

Compléments

• Les nombres 1/3, π, √2 et 0,1 sont des nombres réels.

💡 Astuce mémo

Certains réels ne suffisent pas → apparition d’équations impossibles dans R

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions et stabilité des ensembles