Fiche de révision : Ensembles des nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples et diviseurs
3. Parité et décomposition première
4. Nombres rationnels et décimaux
5. Puissances et nombres réels
6. Intervalles de la droite réelle

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Ensemble des nombres naturels, noté N = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Nombres entiers relatifs : Ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
• Nombres naturels non nuls : Ensemble des nombres naturels privés de 0, soit N* = {1, 2, 3, ...} = N \ {0}.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N s’inclut dans Z : naturels puis relatifs

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour a ∈ Z et b ∈ Z*, a est un multiple de b et b est un diviseur de a s’il existe q ∈ Z tel que $a=q\times b$.

📝 Points essentiels

• Comme 35 = 7 × 5, 35 est un multiple de 7, 7 est un diviseur de 35 et 35 est divisible par 7 et par 5.

• Les diviseurs de 36 sont obtenus par les produits:

  • 1 × 36
  • 2 × 18
  • 3 × 12
  • 4 × 9
  • 6 × 6

• Les multiples de 7 compris entre 50 et 100 sont:

  • 56
  • 63
  • 70
  • 77
  • 84
  • 91
  • 98

💡 Astuce mémo

a = q × b entraîne multiple, diviseur et quotient

📖 3. Parité et décomposition première

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un nombre entier pair s’écrit 2q avec q ∈ Z.
• Nombre impair : Un nombre entier impair s’écrit 2q + 1 avec q ∈ Z.

📝 Points essentiels

📌 La somme de deux multiples d’un entier n est un multiple de n.

📌 Tout nombre entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs premiers.

📐 Formule - Si $N=Q_1^{n_1}\times Q_2^{n_2}\times\cdots\times Q_p^{n_p}$ est la décomposition en facteurs premiers de N, alors son nombre de diviseurs est $\left(n_1+1\right)\left(n_2+1\right)\times\cdots\times\left(n_p+1\right)$.

💡 Astuce mémo

Pair : 2q ; impair : 2q + 1

📖 4. Nombres rationnels et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui s’écrivent a/b avec a ∈ Z et b ∈ Z*.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre rationnel admet une écriture irréductible dans laquelle le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteur commun.

📌 Les inclusions entre les ensembles étudiés sont N ⊂ Z ⊂ Q.

Compléments

• Le nombre 4/2 appartient à Q, mais comme 4/2 = 2, il appartient au plus petit ensemble N.

• √2 et √6 n’appartiennent pas à Q, tandis que √4 appartient à Q car √4 = 2.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q

📖 5. Puissances et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Un nombre décimal peut s’écrire a/10^p avec a ∈ Z et p ∈ N, ce qui implique Z ⊂ D.

★ À maîtriser

📌 Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car supposer 1/3 = a/10^p conduit à 3a = 10^p, impossibilité puisque 10^p est divisible par 2 mais pas par 3.

📐 Formule - Pour tout nombre non nul a et tout entier naturel n, une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Les écritures -15/100 = -0,15, 1235/1000 = 1,235 et 51/10000 = 0,0051 illustrent les nombres décimaux.

📐 Formule - Les puissances de 10 vérifient $10^2\times10^7=10^9$, $10^7/10^3=10^4$ et $(10^5)^3=10^{15}$.

💡 Astuce mémo

Rationnel : fraction ; irrationnel : non rationnel

📖 6. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des nombres correspondant aux abscisses de la droite numérique.
• Intervalle : L’ensemble des nombres réels compris entre deux réels a et b, avec a < b, s’appelle un intervalle et se note [a ; b] lorsqu’il contient ses deux bornes.
• Intersection d’intervalles : L’intersection I ∩ J contient les nombres qui appartiennent simultanément à I et à J.
• Réunion d’intervalles : La réunion I ∪ J contient les nombres qui appartiennent à I ou à J.

★ À maîtriser

📌 Les intervalles [a ; b], ]a ; b], ]-∞ ; a] et ]b ; +∞[ correspondent respectivement à a ≤ x ≤ b, a < x ≤ b, x ≤ a et x ≥ b.

Compléments

• Pour I = ]-∞ ; 6] et J = [-2 ; 3[, on obtient I ∩ J = [-2 ; 3[ et I ∪ J = ]-∞ ; 6].

💡 Astuce mémo

Intersection = et ; réunion = ou

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques