Fiche de révision : Raisonnements et logique mathématique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et opérations logiques
2. Implications et tables de vérité
3. Négation des propositions
4. Quantificateurs et ordre logique
5. Raisonnements directs et par cas
6. Contraposée, absurde et contre-exemple
7. Récurrence, analyse et synthèse

📖 1. Propositions et opérations logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse.
• Négation : La négation de P, notée non P, est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.
• Conjonction : Proposition vraie lorsque P et Q sont vraies en même temps.
• Disjonction : Proposition vraie lorsqu'au moins une des propositions P et Q est vraie, le ou mathématique étant inclusif.

📝 Points essentiels

📌 Une proposition vraie peut être appelée une propriété, ou un théorème lorsqu'il s'agit d'un résultat important.

📖 2. Implications et tables de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L'implication P ⇒ Q signifie que si P est vraie, alors Q est vraie, sans affirmer que P est effectivement vraie.
• Équivalence : Proposition vraie lorsque P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies simultanément, et qui se lit « P si et seulement si Q ».
• Table de vérité : Table déterminant la valeur logique d'une combinaison de propositions pour toutes les valeurs possibles de ses propositions constituantes.

📝 Points essentiels

📌 La contraposée de P ⇒ Q est non Q ⇒ non P et possède la même valeur logique que l'implication initiale.

📌 La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P et peut être vraie ou fausse indépendamment de P ⇒ Q.

💡 Astuce mémo

Contraposée : non Q ⇒ non P ; réciproque : Q ⇒ P

📖 3. Négation des propositions

📝 Points essentiels

📌 La négation de P et Q est non P ou non Q.

📌 La négation de P ⇒ Q est P et non Q, car P ⇒ Q est équivalente à non P ou Q.

📖 4. Quantificateurs et ordre logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout » et l'assertion ∀ x ∈ E, P(x) affirme que P(x) est vraie pour tout x de E.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe » et l'assertion ∃ x ∈ E, P(x) affirme qu'au moins un x de E vérifie P(x).

★ À maîtriser

📌 La négation de ∀ x ∈ E, P(x) est ∃ x ∈ E, non P(x), tandis que la négation de ∃ x ∈ E, P(x) est ∀ x ∈ E, non P(x).

📌 L'ordre des quantificateurs modifie le sens : ∀ porte, ∃ clé signifie qu'une clé peut dépendre de chaque porte, tandis que ∃ clé, ∀ porte signifie qu'une même clé convient à toutes les portes.

Compléments

📌 Pour montrer ∀ x ∈ E, P(x), on fixe un élément quelconque x de E puis on démontre P(x).

📌 Pour montrer ∃ x ∈ E, P(x), on propose une valeur de x puis on vérifie qu'elle satisfait P(x).

💡 Astuce mémo

∀ puis ∃ : la clé dépend de la porte ; ∃ puis ∀ : une clé ouvre toutes les portes

📖 5. Raisonnements directs et par cas

★ À maîtriser

• Pour démontrer P ⇒ Q par raisonnement direct, on suppose P vraie puis on démontre Q.

• La disjonction de cas démontre une propriété en séparant les valeurs possibles de la variable en cas couvrant toutes les situations.

Compléments

• Pour démontrer ∀ x ∈ ℝ, |x − 1| ⩽ x² − x + 1, on traite les deux cas x ⩽ 1 et x > 1.

📖 6. Contraposée, absurde et contre-exemple

★ À maîtriser

• Le raisonnement par l'absurde prouve P ⇒ Q en supposant P et non Q, puis en montrant que cette hypothèse conduit à une contradiction.

• Pour réfuter une proposition ∀ x ∈ E, P(x), il suffit d'exhiber un élément de E pour lequel P(x) est fausse.

Compléments

• La proposition « tout entier naturel est la somme de trois carrés d'entiers » est fausse, car 7 ne peut pas être obtenu avec trois carrés inférieurs ou égaux à 4.

💡 Astuce mémo

Contraposée pour prouver une implication ; contre-exemple pour réfuter un universel

📖 7. Récurrence, analyse et synthèse

★ À maîtriser

• Le raisonnement par récurrence démontre une propriété Pn pour tout n ∈ ℕ par une initialisation P0, puis par l'hérédité ∀ n ∈ ℕ, Pn ⇒ Pn+1.

• Le raisonnement par analyse et synthèse commence par identifier les candidats possibles en supposant l'existence d'une solution, puis vérifie ces candidats pour retenir les solutions réelles.

Compléments

• Pour f(x)=x³−x²+1 sur [−1;1], les candidats au minimum sont −1, 0, 2/3 et 1, et le minimum vaut −1 en x=−1.

💡 Astuce mémo

Récurrence : initialisation → hérédité → conclusion ; analyse → synthèse

📊 Tableaux de synthèse

Principales formes de raisonnement