QCM : Raisonnements et logique mathématique (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment démontre-t-on directement une implication P⇒QP \Rightarrow Q ?

On suppose QQ fausse, puis on déduit que PP est fausse.
On sépare les valeurs possibles en plusieurs cas, puis on vérifie chaque cas.
On cherche une valeur pour laquelle PP est fausse, puis on conclut.
On suppose PP vraie, puis on déduit que QQ est vraie.

On suppose $$P$$ vraie, puis on déduit que $$Q$$ est vraie.

Explication

Le raisonnement direct part de l’hypothèse PP et construit une démonstration de QQ. Supposer QQ fausse pour obtenir la négation de PP relève de la contraposée, non du raisonnement direct.

2. Si la proposition P est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation non P ?

Elle dépend de la proposition Q.
Elle est fausse.
Elle n’a pas de valeur de vérité.
Elle est vraie.

Elle est fausse.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de la proposition initiale : elle est fausse lorsque P est vraie. La présence d’une autre proposition n’intervient pas dans cette règle.

3. Quelle condition doit respecter une disjonction de cas pour démontrer une propriété générale ?

Les cas doivent correspondre à des propriétés différentes de la conclusion.
Les cas doivent couvrir toutes les situations possibles de la variable.
Les cas doivent contenir une valeur commune permettant de relier les démonstrations.
Les cas doivent être traités dans l’ordre croissant des valeurs de la variable.

Les cas doivent couvrir toutes les situations possibles de la variable.

Explication

Une disjonction de cas est valide lorsque chaque possibilité est incluse dans au moins un cas étudié. Des cas qui laissent une situation de côté ne permettent pas de conclure pour toute la variable.

4. Dans un raisonnement par l’absurde visant à prouver P⇒QP \Rightarrow Q, quelles hypothèses sont utilisées ?

On suppose non Q\text{non }Q, puis on montre directement que non P\text{non }P est vraie.
On suppose PP et non Q\text{non }Q, puis on montre que ces hypothèses entraînent une contradiction.
On suppose QQ vraie, puis on montre que PP découle nécessairement de cette hypothèse.
On suppose PP fausse, puis on montre que QQ est vraie dans cette situation.

On suppose $$P$$ et $$\text{non }Q$$, puis on montre que ces hypothèses entraînent une contradiction.

Explication

L’absurde examine la situation où PP est vraie et QQ est fausse, afin d’obtenir une contradiction. Supposer seulement non Q\text{non }Q pour établir non P\text{non }P correspond à la contraposée.

5. Dans quel cas la conjonction P et Q est-elle vraie ?

Lorsque P est vraie ou que Q est vraie.
Lorsque P et Q sont vraies.
Lorsque P et Q ont des valeurs différentes.
Lorsque P et Q sont fausses.

Lorsque P et Q sont vraies.

Explication

Une conjonction exige que ses deux propositions soient vraies simultanément. Le fait qu’une seule proposition soit vraie suffit pour une disjonction, pas pour une conjonction.

6. Lors d’un raisonnement par analyse et synthèse, quelle démarche permet de conclure qu’un candidat est effectivement une solution ?

Comparer ce candidat avec la valeur obtenue par récurrence.
Supposer directement que ce candidat est la solution recherchée.
Vérifier ce candidat dans les conditions initiales du problème.
Déduire ce candidat en appliquant l’hérédité à chaque rang.

Vérifier ce candidat dans les conditions initiales du problème.

Explication

La synthèse consiste à réintroduire les candidats obtenus par l’analyse dans le problème pour vérifier lesquels satisfont réellement les conditions. L’analyse sert à produire ces candidats en supposant l’existence d’une solution, mais elle ne suffit pas à les valider.

7. Quelle est la négation de la conjonction P et Q ?

P ou Q
Non P ⇒ non Q
Non P et non Q
Non P ou non Q

Non P ou non Q

Explication

La négation d’une conjonction devient une disjonction des négations, soit non P ou non Q. Cette règle signifie qu’il suffit qu’au moins une des deux propositions soit fausse pour réfuter P et Q.

8. P vaut faux et Q vaut vrai. Quelle est la valeur de la disjonction P ou Q ?

Elle est indéterminée.
Elle est vraie seulement si P devient vraie.
Elle est fausse.
Elle est vraie.

Elle est vraie.

Explication

Le « ou » mathématique est inclusif : la disjonction est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie. Ici, Q est vraie, même si P est fausse.

9. Que signifie l’assertion ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) ?

La propriété P(x)P(x) dépend d’un élément particulier de EE.
La propriété P(x)P(x) est vraie pour au moins un élément de EE.
La propriété P(x)P(x) est vraie pour chaque élément de EE.
La propriété P(x)P(x) est fausse pour chaque élément de EE.

La propriété $$P(x)$$ est vraie pour chaque élément de $$E$$.

Explication

Le quantificateur universel affirme que chaque élément de EE vérifie la propriété. Le quantificateur existentiel correspondrait à l’existence d’au moins un élément vérificateur.

10. Quelle différence logique distingue ∀ porte, ∃ cleˊ\forall\ \text{porte},\ \exists\ \text{clé} de ∃ cleˊ, ∀ porte\exists\ \text{clé},\ \forall\ \text{porte} ?

Dans la première, une même clé convient à toutes les portes ; dans la seconde, la clé peut dépendre de la porte.
Dans la première, la clé peut dépendre de la porte ; dans la seconde, une même clé convient à toutes les portes.
Dans les deux expressions, une clé choisie convient à toutes les portes avec le même degré de contrainte.
Dans les deux expressions, chaque porte peut être associée à une clé sans qu’une clé soit nécessairement trouvée.

Dans la première, la clé peut dépendre de la porte ; dans la seconde, une même clé convient à toutes les portes.

Explication

Lorsque le quantificateur universel précède l’existentiel, le choix de la clé peut varier avec la porte. Lorsque l’existentiel précède l’universel, une clé unique doit convenir à toutes les portes.

11. Dans quelle condition l’équivalence P ⇔ Q est-elle vraie ?

Lorsque P et Q ont des valeurs différentes.
Lorsque P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies.
Lorsque P ⇒ Q est vraie et Q est fausse.
Lorsque P et Q sont fausses dans tous les cas.

Lorsque P ⇒ Q et Q ⇒ P sont vraies.

Explication

Une équivalence exige les deux implications dans les deux sens : P ⇒ Q et Q ⇒ P. Elle se lit « P si et seulement si Q », ce qui exprime une condition réciproque.

12. Que signifie l’implication P ⇒ Q ?

P et Q ont des valeurs de vérité opposées.
P et Q sont nécessairement vraies.
Si P est vraie, alors Q est vraie.
Si Q est vraie, alors P est vraie.

Si P est vraie, alors Q est vraie.

Explication

L’implication établit une condition : la vérité de P entraîne celle de Q. Elle ne prétend pas que P est effectivement vraie, contrairement à une conjonction affirmant les deux propositions.

13. Quelle est la négation correcte de ∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) ?

∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x)
∃x∈E, non P(x)\exists x \in E,\ \text{non }P(x)
∀x∈E, non P(x)\forall x \in E,\ \text{non }P(x)
non ∀x∈E, non P(x)\text{non }\forall x \in E,\ \text{non }P(x)

$$\forall x \in E,\ \text{non }P(x)$$

Explication

Dire qu’il n’existe aucun élément vérifiant PP revient à dire que tout élément de EE ne vérifie pas PP. L’expression existentielle avec une propriété niée ne garantit pas que tous les éléments échouent.

14. Quelle est la négation de l’implication P ⇒ Q ?

Non P ou Q
Non P et Q
P et non Q
Non Q ⇒ non P

P et non Q

Explication

Une implication est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse, d’où sa négation P et non Q. L’expression non Q ⇒ non P est la contraposée de l’implication, et non sa négation.

15. Quelle démarche permet de démontrer ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) ?

Fixer un élément quelconque de EE, puis établir qu’il vérifie PP.
Vérifier PP pour plusieurs éléments de EE, puis généraliser le résultat.
Choisir un élément particulier de EE, puis vérifier qu’il vérifie PP.
Supposer que PP est fausse pour un élément choisi, puis chercher une contradiction.

Fixer un élément quelconque de $$E$$, puis établir qu’il vérifie $$P$$.

Explication

Une preuve universelle commence par un élément arbitraire de EE afin de montrer que la propriété lui est applicable. Un élément particulier ne suffit pas à établir une assertion portant sur tous les éléments.

16. Quelle expression est la contraposée de l’implication P ⇒ Q ?

Non P ⇒ non Q
Q ⇒ P
P et non Q
Non Q ⇒ non P

Non Q ⇒ non P

Explication

La contraposée échange les propositions et les nie, donnant non Q ⇒ non P. Elle possède la même valeur logique que l’implication initiale, tandis que Q ⇒ P est sa réciproque.

17. Quelle affirmation décrit correctement la réciproque de P ⇒ Q ?

C’est Q ⇒ P, qui peut différer de l’implication initiale.
C’est P et Q, qui affirme les deux propositions.
C’est non Q ⇒ non P, qui a la même valeur logique.
C’est non P ⇒ non Q, qui inverse les deux négations.

C’est Q ⇒ P, qui peut différer de l’implication initiale.

Explication

La réciproque s’obtient en échangeant les rôles de P et Q, ce qui donne Q ⇒ P. Elle peut être vraie ou fausse indépendamment de P ⇒ Q, contrairement à la contraposée.

18. Dans une démonstration par récurrence, que signifie l’hérédité de la propriété PnP_n ?

Elle montre que PnP_n est fausse avant le premier rang.
Elle vérifie que P0P_0 est vraie au premier rang.
Elle établit que PnP_n entraîne Pn+1P_{n+1} pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}.
Elle détermine le plus grand entier pour lequel PnP_n est vraie.

Elle établit que $$P_n$$ entraîne $$P_{n+1}$$ pour tout $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

L’hérédité consiste à démontrer l’implication Pn⇒Pn+1P_n\Rightarrow P_{n+1} pour tout entier naturel, afin de transmettre la propriété d’un rang au suivant. La vérification de P0P_0 relève de l’initialisation, et non de l’hérédité.

19. Comment réfuter une proposition de la forme ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) ?

Démontrer que la propriété est vraie pour un élément particulier de EE.
Remplacer le quantificateur universel par un quantificateur existentiel.
Exhiber un élément de EE pour lequel P(x)P(x) est fausse.
Montrer que plusieurs éléments de EE vérifient une propriété différente.

Exhiber un élément de $$E$$ pour lequel $$P(x)$$ est fausse.

Explication

Une assertion universelle est fausse dès qu’un contre-exemple appartenant à EE ne vérifie pas la propriété. La vérification d’un seul élément ne peut pas réfuter une assertion universelle.

20. Laquelle des expressions suivantes est une proposition mathématique ?

7 est un nombre premier.
x + 2
Calculer 5 − 1
3 + 4

7 est un nombre premier.

Explication

Une proposition est une phrase mathématique à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse. L’expression « 3 + 4 » représente un calcul, mais elle n’affirme rien qui soit vrai ou faux.

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Qu'est-ce qu'une proposition en mathématiques ?

Une phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse.

Quand la négation de P est-elle vraie ?

Lorsque P est fausse.

Quand la conjonction P et Q est-elle vraie ?

Lorsque P et Q sont vraies en même temps.

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