QCM : Révisions de mathématiques terminale (18 questions)

Explication

La forme développée d’un polynôme du second degré comporte les trois termes $ax^2$, $bx$ et $c$. La forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ est la forme canonique, tandis que la forme factorisée utilise les racines.

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ et met en évidence les coordonnées du sommet de la parabole. L’expression $ax^2+bx+c$ correspond à la forme développée.

Explication

Le discriminant se calcule avec la formule $\Delta=b^2-4ac$. Le signe entre les deux termes est une différence, et non une addition.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles obtenues avec $\sqrt{\Delta}$ dans les deux formules. La formule $x_0=\frac{-b}{2a}$ correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

Si $\Delta=0$, les deux racines se confondent en une racine réelle donnée par $x_0=\frac{-b}{2a}$. Le cas $\Delta>0$ conduit à deux racines réelles distinctes.

Explication

Une récurrence commence par la vérification au rang initial, puis établit le passage du rang $k$ au rang $k+1$, avant de conclure pour tout $n\ge n_0$. L’hérédité ne remplace donc pas la vérification du rang de départ.

Explication

L’hypothèse de récurrence consiste à supposer la propriété vraie pour un entier $k\ge n_0$ afin d’établir sa validité au rang $k+1$. La vérification au rang $n_0$ appartient à l’initialisation et non à cette hypothèse.

Explication

La récurrence démontre que le terme général est $u_n=2\times3^n+1$ pour chaque entier naturel $n\geq0$. La relation $u_{n+1}=3u_n-2$ définit la suite, mais ne constitue pas le terme général démontré.

Explication

La relation $u_{n+1}=3u_n-2$ sert à définir successivement les termes, alors que $u_n=2\times3^n+1$ est la propriété que l’on établit par récurrence. Confondre ces deux rôles revient à prendre la définition de la suite pour sa formule explicite.

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers zéro. Il s’agit d’un nombre associé à l’abscisse $a$, tandis que la fonction dérivée rassemble ces nombres selon les abscisses.

Explication

La tangente passe par le point $\bigl(a,f(a)\bigr)$ et possède la pente $f'(a)$, d’où $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Utiliser $f'(x)$ ferait intervenir la pente variable de la courbe entière plutôt que celle au point considéré.

Explication

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée, donc $\left(e^x\right)'=e^x$. La formule $nx^{n-1}$ concerne une puissance $x^n$ et ne s’applique pas à l’exponentielle.

Explication

La règle du quotient donne $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque $v\ne0$. La somme au numérateur appartient à la règle du produit, tandis que le dénominateur doit être élevé au carré.

Explication

Une dérivée positive, avec des annulations éventuelles en un nombre fini de points, implique que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle. Une dérivée négative conduirait plutôt à une décroissance, tandis que la constance correspondrait à une dérivée nulle.

Explication

La composée $v\circ u$ applique d’abord $u$, puis $v$, d’où $v(u(x))=\left(2x+1\right)^2$. L’expression $2x^2+1$ correspondrait à une autre combinaison des deux fonctions et ne respecte pas l’ordre de composition.

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne $\left(v\circ u\right)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$, soit $2(3x-2)\times3=6(3x-2)$. L’expression $2(3x-2)$ oublie le facteur provenant de la dérivée de $u$.

Explication

Pour une suite arithmétique, on utilise $u_n=u_p+(n-p)r$, donc $u_8=11+(8-3)\times4=31$. La valeur $27$ correspondrait à quatre accroissements au lieu de cinq entre les rangs 3 et 8.

Explication

Pour une suite géométrique, la relation $u_n=u_pq^{n-p}$ donne $u_5=12\times3^{5-2}=324$. La valeur $108$ ne prend en compte que deux multiplications par la raison au lieu de trois.