Fiche de révision : Révisions de mathématiques terminale

📋 Plan du Cours

1. Formes du trinôme
2. Discriminant et racines
3. Principe de récurrence
4. Exemple de récurrence
5. Nombre dérivé et tangente
6. Dérivées et variations
7. Composées de fonctions
8. Suites arithmétiques et géométriques

📖 1. Formes du trinôme

★ À maîtriser

• La forme développée d’un polynôme du second degré est $ax^2+bx+c$.

• La forme canonique d’un polynôme du second degré est $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Compléments

• Lorsqu’elle existe, la forme factorisée d’un polynôme du second degré est $a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Développée pour calculer, canonique pour lire la parabole, factorisée pour trouver les racines

📖 2. Discriminant et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’unique racine du trinôme est $x_0=\frac{-b}{2a}$.

Compléments

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum atteint en $x=\beta$.

📌 Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum atteint en $x=\beta$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine réelle

📖 3. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse de récurrence : Consiste à supposer qu’une propriété est vraie pour un entier naturel $k\ge n_0$ afin de démontrer qu’elle est vraie pour $$k+1$.

📝 Points essentiels

• Une démonstration par récurrence comporte trois étapes : l’initialisation au rang $n_0$, l’hérédité du rang $k$ au rang $k+1$, puis la conclusion pour tout entier naturel $n\ge n_0$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 4. Exemple de récurrence

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=3u_n-2$, une récurrence permet de démontrer que $u_n=2\times3^n+1$ pour tout entier naturel $n\ge0$.

💡 Astuce mémo

La propriété au rang k entraîne la propriété au rang k+1, donc elle vaut pour tout rang

📖 5. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La limite $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

La tangente touche la courbe et sa pente donne le nombre dérivé

📖 6. Dérivées et variations

★ À maîtriser

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $(k)'=0$, $(x)'=1$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(1/x)'=-1/x^2$, $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ et $(e^x)'=e^x$.

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ lorsque $v\ne0$.

📌 Si la dérivée est positive sur un intervalle, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.

Compléments

• Pour $f(x)=x^3-1,5x^2-6x+2$, on a $f'(x)=3x^2-3x-6$, dont les racines sont $-1$ et $2$.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : croissance ; dérivée nulle : constance ; dérivée négative : décroissance

📖 7. Composées de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composée de u suivie de v est définie par $(v\circ u)(x)=v(u(x))$ lorsque les images de u appartiennent à l’ensemble de définition de v.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une composée vérifie $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$.

Compléments

• Si $u(x)=1-x$ et $v(x)=\sqrt{x}$, alors $(v\circ u)(x)=\sqrt{1-x}$ est définie sur $]-\infty;1]$, tandis que $(u\circ v)(x)=1-\sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\infty[$.

📐 Formule - Les cas particuliers sont $(e^u)'=u'e^u$, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$, $(1/u)'=-u'/u^2$ lorsque u ne s’annule pas, et $(\sqrt{u})'=u'/(2\sqrt{u})$ lorsque u est strictement positive.

💡 Astuce mémo

Entrée x → fonction intérieure u → fonction extérieure v

📖 8. Suites arithmétiques et géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Une suite arithmétique de raison r vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule - Une suite géométrique de raison q vérifie $u_{n+1}=u_nq$ et $u_n=u_0q^n=u_pq^{n-p}$.

Compléments

📐 Formule - La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites