QCM : Ensembles et applications (27 questions)

Explication

L’inclusion signifie que tout élément de A est aussi un élément de B. Dire qu'A appartient à B confond un élément avec un ensemble, et les deux autres choix affirment respectivement une égalité ou l’inclusion inverse.

Explication

L’égalité des ensembles se démontre par double inclusion : chaque élément de A doit appartenir à B, et chaque élément de B à A. Une seule inclusion, une égalité de cardinalités ou un élément commun ne suffit pas à établir cette égalité.

Explication

P(E) rassemble toutes les parties, c’est-à-dire tous les sous-ensembles de E, y compris l’ensemble vide et E lui-même. L’ensemble initial ne contient qu'a et b, tandis que les autres choix omettent certaines parties ou ajoutent des ensembles étrangers.

Explication

Si E a n éléments, le nombre de ses sous-ensembles est $|P(E)|=2^n$, car chaque élément peut être présent ou absent. Pour 5 éléments, $2^5=32$; 5 est le cardinal de E, et 10 ou 25 proviennent d’autres calculs.

Explication

Dans E × F, la première coordonnée vient de E et la seconde de F, donc (1, a) convient. Le couple (a, 1) inverse les ensembles, {1, a} est un ensemble plutôt qu’un couple ordonné, et (1, 2) prend ses deux coordonnées dans E.

Explication

Une application de E vers F attribue à chaque élément de départ un unique élément de l’ensemble d’arrivée. Une relation sans contrainte peut ne pas respecter cette règle; l’unicité de l’image n’impose pas des antécédents distincts, et inverser E et F change le sens de l’application.

Explication

Dans une application, chaque élément de l’ensemble de départ a exactement une image, tandis qu’un élément d’arrivée peut n’avoir aucun antécédent. Exiger que tout élément de F soit atteint ajoute une condition absente de la définition; le nombre d’éléments ou la multiplicité des antécédents ne change pas cette règle.

Explication

L’image directe rassemble les images des éléments de A, et un ensemble ne répète pas les éléments : ici, les seules images sont u et v. $\{u,u,v\}$ conserve une répétition, $\{u,v,w\}$ ajoute une valeur non atteinte et $\{p,q,r\}$ reprend le domaine.

Explication

L’image réciproque regroupe les éléments de E dont l’image par f appartient à B, et elle est définie même si f n’est pas bijective. La fonction réciproque exige la bijectivité, l’image directe part d’un sous-ensemble du domaine, et la dernière description vise F plutôt que B.

Explication

Dans $g\circ f$, on applique d’abord f, puis g : $g(f(x))=g(x+2)=3(x+2)$. $3x+2$ correspond à $f\circ g$, $x+2$ omet g, et la somme des expressions n’est pas une composition.

Explication

L’injectivité impose que deux éléments ayant la même image soient égaux ; deux entrées distinctes ayant la même image constituent donc une collision qui réfute l’injectivité. La surjectivité concerne l’atteinte de chaque élément de F, tandis qu’une bijection est à la fois injective et surjective.

Explication

Une application est surjective lorsque chaque élément de F possède au moins un antécédent, ce qui équivaut à $f(E)=F$. « Au plus un » définit l’injectivité, « exactement un » ajoute cette condition, et la non-injectivité n’implique pas que des éléments de F ne soient pas atteints.

Explication

Une application est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective : chaque élément du codomaine a donc exactement un antécédent. L’injectivité seule impose au plus un antécédent, tandis que la surjectivité seule en impose au moins un.

Explication

Pour une application bijective, f⁻¹ associe à chaque y son unique antécédent dans E. L’image réciproque d’un ensemble est une notion distincte, et l’application réciproque va de F vers E, non de E vers F.

Explication

Pour une bijection, y = f(x) équivaut à x = f⁻¹(y) : la réciproque renvoie à l’unique antécédent de y. Écrire f(y) ou f⁻¹(x) inverse les rôles des éléments et des applications.

Explication

Un codage réversible doit être injectif : des données différentes ne peuvent pas être confondues dans un même code. La surjectivité concerne le fait d’atteindre toutes les valeurs du codomaine, ce qui n’est pas la condition donnée pour retrouver chaque donnée.

Explication

Les propriétés d’une application dépendent à la fois de sa formule et de ses ensembles de départ et d’arrivée. Sur ℝ vers ℝ, x² échoue à l’injectivité et à la surjectivité ; sur les réels positifs vers eux-mêmes, elle est bijective.

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments. Le nom de l’ensemble, ses sous-ensembles et l’ordre des éléments désignent d’autres notions.

Explication

Comme $A\subset B$, $\operatorname{Card}(B\setminus A)=\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A)=12-5=7$. $17$ vient d’une addition, $-7$ inverse la soustraction et $5$ reprend le cardinal de $A$.

Explication

La formule du crible donne $18+14-6=26$, car les personnes pratiquant les deux activités sont comptées deux fois dans la somme initiale. $32$ omet cette correction, $20$ la soustrait deux fois et $6$ est l’intersection.

Explication

Pour les suites de longueur $3$, chacun des trois emplacements offre $5$ choix, donc le nombre de suites est $5^3=125$. $5$ oublie les autres positions, $15$ additionne les valeurs et $2^5$ compte plutôt les sous-ensembles de l’ensemble de symboles.

Explication

Pour une application injective entre ensembles finis, il faut que le cardinal de départ soit inférieur ou égal à celui d’arrivée. La relation inverse correspond à la surjectivité, tandis que l’égalité est garantie par la bijectivité.

Explication

Entre deux ensembles finis de même cardinal, l’injectivité et la surjectivité sont équivalentes et chacune entraîne la bijectivité. Une surjectivité sans bijection ou l’absence de conséquence méconnaît cette équivalence.

Explication

Lorsque le nombre d’objets dépasse celui des tiroirs, au moins deux objets doivent se retrouver dans un même tiroir. Le principe ne garantit ni une répartition uniforme, ni que tous les tiroirs soient remplis de la même façon.

Explication

Comme le cardinal du départ est supérieur à celui de l’arrivée, le principe des tiroirs exclut toute application injective. En revanche, cette inégalité n’exclut pas la surjectivité.

Explication

En Python, l’opérateur `&` calcule l’intersection des ensembles, c’est-à-dire les éléments communs. `|` calcule l’union, `-` la différence et `len` le cardinal.

Explication

`CROSS JOIN` construit le produit cartésien des lignes des deux tables, en formant tous les couples possibles. `UNION`, `INTERSECT` et `EXCEPT` réalisent respectivement l’union, l’intersection et la différence des résultats de requêtes.