Fiche de révision : Ensembles et coefficients binomiaux

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et éléments
2. Sous-ensembles et ensembles particuliers
3. Cardinal des ensembles
4. Ensemble des parties
5. Coefficients binomiaux

📖 1. Ensembles et éléments

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments de l’ensemble.

★ À maîtriser

📌 Un élément x appartient à un ensemble E lorsque l’on écrit x ∈ E, tandis que x ∉ E signifie que x n’appartient pas à E.

📌 Un ensemble peut être défini en extension par la liste de ses éléments ou en compréhension par la propriété vérifiée par tous ses éléments.

Compléments

• L’ensemble A={1;2;3;4} contient les quatre éléments 1, 2, 3 et 4, tandis que ℕ={0;1;2;3;...} désigne l’ensemble des entiers naturels.

💡 Astuce mémo

En extension : on liste les éléments ; en compréhension : on énonce leur propriété.

📖 2. Sous-ensembles et ensembles particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-ensemble : Ensemble dont tout élément est un élément d’un ensemble E, ce qui se note A ⊂ E ou A ∈ 𝒫(E).
• Singleton : Ensemble composé d’un seul élément.
• Ensemble vide : Ensemble ne contenant aucun élément et se notant ∅ ou {}.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout ensemble E, l’ensemble vide vérifie ∅ ⊂ E et l’ensemble E vérifie E ⊂ E.

💡 Astuce mémo

Un petit ensemble A placé à l’intérieur d’un grand ensemble E.

📖 3. Cardinal des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Nombre de ses éléments distincts et se notant Card(E).

★ À maîtriser

📌 Un ensemble est fini lorsque son cardinal est fini, tandis que ℕ est un ensemble qui n’est pas fini.

📌 Si A est un ensemble fini et B ⊂ A, alors B est fini et Card(B) ≤ Card(A).

Compléments

• Le cardinal de l’ensemble vide vaut Card(∅)=0, celui d’un singleton vaut 1 et celui de {1;2;3;4} vaut 4.

📖 4. Ensemble des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : Ensemble de toutes les parties ou de tous les sous-ensembles de E.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout ensemble fini E, le nombre de ses parties vérifie $\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E))=2^{\operatorname{Card}(E)}$.

Compléments

• Si E={1;2}, alors 𝒫(E)={∅;{1};{2};E}.

• Pour E={1;2}, on a Card(E)=2 et Card(𝒫(E))=2²=4.

💡 Astuce mémo

Chaque élément de E a deux choix — présent ou absent — donc $\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E))=2^{\operatorname{Card}(E)}$.

📖 5. Coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments et se lit « k parmi n ».

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$.

📐 Formule — Les coefficients binomiaux sont symétriques selon la relation $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

📐 Formule — Pour un ensemble E de cardinal n, la somme de tous les coefficients binomiaux vérifie $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$.

Compléments

• Pour un ensemble E={1;2;3}, les coefficients binomiaux valent $\binom{3}{0}=1$, $\binom{3}{1}=3$, $\binom{3}{2}=3$ et $\binom{3}{3}=1$.

📐 Formule — Pour 0<k<n, la formule du triangle de Pascal est $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$.

• Le triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux en plaçant des 1 sur les bords et en obtenant chaque terme intérieur par addition des deux termes situés au-dessus.

• Les valeurs demandées dans le cours sont $\binom{6}{2}=15$, $\binom{8}{5}=56$ et $\binom{9}{6}=84$.

💡 Astuce mémo

Bords à 1, première diagonale à n, puis symétrie dans le triangle de Pascal.