QCM : Ensembles et coefficients binomiaux — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture signifie que l’élément xx appartient à l’ensemble EE ?

x∈Ex \in E
E⊂xE \subset x
E∈xE \in x
x∉Ex \notin E

$$x \in E$$

Explication

L’écriture x∈Ex \in E indique que xx est un élément de EE. L’écriture x∉Ex \notin E exprime au contraire que xx n’appartient pas à cet ensemble.

2. Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Un ensemble est une liste ordonnée d’objets.
Un ensemble est une propriété vérifiée par ses éléments.
Un ensemble est une fonction définie sur un domaine.
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de l’ensemble.

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de l’ensemble.

Explication

Un ensemble est défini comme une collection d’objets appelés éléments. La liste ordonnée ou la propriété vérifiée ne caractérisent pas la définition d’un ensemble.

3. Comment définit-on en compréhension un ensemble de nombres ayant une propriété commune ?

En indiquant la propriété vérifiée par ses éléments
En précisant le nombre total de ses éléments
En donnant un élément particulier de l’ensemble
En énumérant chaque élément entre des accolades

En indiquant la propriété vérifiée par ses éléments

Explication

Une définition en compréhension décrit la propriété commune vérifiée par tous les éléments de l’ensemble. Une définition en extension consiste plutôt à lister explicitement ces éléments.

4. Quelle notation indique qu’un élément x appartient à un ensemble E ?

x ot\u00a0E
x E
x E
x ot\u00a0e E

x E

Explication

La notation x2˘208Ex \u2208 E signifie que l’élément x appartient à l’ensemble E. La notation x̸2˘208Ex \not\u2208 E indique le contraire, que x n’appartient pas à E.

5. Quelle condition caractérise un ensemble AA qui est une partie d’un ensemble EE ?

Les ensembles AA et EE ont le même nombre d’éléments
Tout élément de AA appartient à EE
Tout élément de EE appartient à AA
L’ensemble AA est lui-même un élément de EE

Tout élément de $$A$$ appartient à $$E$$

Explication

AA est une partie de EE lorsque chaque élément de AA se trouve aussi dans EE, ce qui se note A⊂EA \subset E. Dire que A∈EA \in E signifierait que AA est un élément de EE, ce qui est une relation différente.

6. Quel est le rôle principal du cardinal d’un ensemble en théorie des ensembles ?

Il définit la propriété vérifiée par tous ses éléments.
Il permet de déterminer si l’ensemble est fini ou infini.
Il sert à classer les ensembles selon leur taille.
Il indique le nombre d’éléments distincts de l’ensemble.

Il indique le nombre d’éléments distincts de l’ensemble.

Explication

Le cardinal d’un ensemble indique le nombre d’éléments distincts qu’il contient, ce qui est essentiel pour comparer la taille des ensembles. La propriété vérifiée par ses éléments n’est pas directement liée au cardinal, et le fait qu’un ensemble soit fini ou infini dépend de la nature de ses éléments, pas uniquement de son cardinal.

7. Quelle description correspond à un singleton ?

Un ensemble ne contenant aucun élément
Un ensemble contenant plusieurs éléments distincts
Un ensemble contenant exactement un élément
Un ensemble dont tous les éléments sont des ensembles

Un ensemble contenant exactement un élément

Explication

Un singleton est un ensemble composé d’un seul élément. L’ensemble vide, noté ∅\varnothing ou {}\{\}, ne contient quant à lui aucun élément.

8. Quand a été publié le concept de l'ensemble des parties en théorie des ensembles ?

Le concept a été formalisé au début du XXe siècle, notamment par Georg Cantor dans les années 1870.
Il a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890.
Il a été introduit dans les travaux de Bertrand Russell au début du XXe siècle.
Ce concept a été développé par David Hilbert dans les années 1920.

Le concept a été formalisé au début du XXe siècle, notamment par Georg Cantor dans les années 1870.

Explication

Le concept de l'ensemble des parties a été formalisé par Georg Cantor dans les années 1870, lors de ses travaux sur la théorie des ensembles. Les autres propositions mentionnent des figures importantes mais ne sont pas à l'origine de cette notion.

9. En quoi le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} diffère-t-il du coefficient binomial (nn−k)\binom{n}{n-k} ?

Ils diffèrent, car (nk)\binom{n}{k} représente le nombre de sous-ensembles de taille kk, tandis que (nn−k)\binom{n}{n-k} représente ceux de taille n−kn-k, qui sont différents.
Ils sont toujours différents sauf si k=n/2k = n/2, car la formule ne s'applique que dans ce cas.
Ils sont égaux, car la formule (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} établit leur symétrie.
Ils diffèrent uniquement pour k=0k=0 ou k=nk=n, car dans ces cas, l'un vaut 1 et l'autre nn.

Ils sont égaux, car la formule $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$ établit leur symétrie.

Explication

Les coefficients binomiaux (nk)\binom{n}{k} et (nn−k)\binom{n}{n-k} sont égaux en raison de la propriété de symétrie (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, ce qui reflète le fait que le nombre de sous-ensembles de taille kk est le même que celui de taille n−kn-k dans un ensemble de nn éléments.

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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’objets appelés éléments.

Ensemble définition

Collection d’objets appelés éléments.

Que signifie l'écriture x ∈ E ?

Que x appartient à l’ensemble E.

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