Fiche de révision : Entiers naturels et relatifs

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Diviseurs et nombres premiers
3. Parité des entiers
4. Restes et calcul binaire
5. PGCD et réduction des fractions
6. Algorithme d’Euclide et coprimalité
7. Entiers relatifs et calculs

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de m par d s’écrit $m=d\times q+r$, où q est le quotient et r le reste.

★ À maîtriser

📌 Un entier m est divisible par d si le reste de la division euclidienne de m par d est nul, ce qui s’écrit m % d = 0 en Python.

Compléments

• Comme $27=9\times3$, 27 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 27.

• La division euclidienne de 27 par 2 donne $27=2\times13+1$, donc 27 n’est pas divisible par 2.

💡 Astuce mémo

Reste nul → divisibilité ; reste non nul → non-divisibilité

📖 2. Diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Pour rechercher les diviseurs d’un entier, on teste les diviseurs successifs jusqu’à dépasser sa racine carrée et on associe à chaque diviseur trouvé son autre facteur.

Compléments

• Le nombre 73 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 73.

• Pour trouver les nombres multiples de 2 et de 3 mais non multiples de 4 et de 9, on sélectionne les multiples de 6 puis on élimine ceux de 4 et de 9.

💡 Astuce mémo

Tester les diviseurs jusqu’à dépasser la racine carrée

📖 3. Parité des entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un nombre pair est un entier dont le reste de la division par 2 est 0.
• Nombre impair : Un nombre impair est un entier dont le reste de la division par 2 est 1.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux nombres pairs est paire, car $2h+2p=2(h+p)$.

📌 La somme de deux nombres impairs est paire, car $(2p+1)+(2k+1)=2(p+k+1)$.

Compléments

📌 Le produit de deux nombres pairs est pair, car $2h\times2p=2(2hp)$.

💡 Astuce mémo

Pair : reste 0 ; impair : reste 1

📖 4. Restes et calcul binaire

★ À maîtriser

• Dans une division par 3, les seuls restes possibles sont 0, 1 et 2.

• Les tables d’addition et de multiplication binaires utilisent seulement les chiffres 0 et 1.

Compléments

• Dans l’interprétation électrique du binaire, 0 correspond à un circuit ouvert et une lampe éteinte, tandis que 1 correspond à un circuit fermé et une lampe allumée.

💡 Astuce mémo

Circuit ouvert = 0 ; circuit fermé = 1

📖 5. PGCD et réduction des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun.

★ À maîtriser

• Pour réduire une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

• Pour additionner $\frac{1}{12}$ et $\frac{1}{18}$, on choisit le dénominateur commun 36, puis on obtient $\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$.

Compléments

• Comme le PGCD de 12 et 18 vaut 6, la fraction $\frac{12}{18}$ se réduit en $\frac{2}{3}$.

💡 Astuce mémo

PGCD maximal → fraction irréductible

📖 6. Algorithme d’Euclide et coprimalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

★ À maîtriser

• L’algorithme des différences calcule le PGCD en soustrayant répétitivement le plus petit nombre du plus grand jusqu’à obtenir une différence nulle.

• Avec l’algorithme d’Euclide, on remplace successivement le plus grand nombre par le plus petit et le plus petit par le reste de la division jusqu’à obtenir un reste nul.

Compléments

• Le PGCD de 80 et 243 vaut 1, donc 80 et 243 sont premiers entre eux et la fraction $\frac{80}{243}$ est irréductible.

💡 Astuce mémo

Grand nombre → petit nombre → reste, jusqu’à zéro

📖 7. Entiers relatifs et calculs

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel appartient aux entiers relatifs, ce qui s’écrit $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$, mais un entier relatif négatif comme -3 n’appartient pas à $\mathbb{N}$.

• Pour calculer une expression d’entiers relatifs, on effectue d’abord les parenthèses et les multiplications, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs avant de soustraire.

Compléments

• L’expression $-33-(-19+3-5)$ se transforme en $-33+19-3+5$ et vaut -12.

• L’expression $24-5-4+11-15-3$ se regroupe en $35-27$ et vaut 8.

💡 Astuce mémo

Naturels ⊂ relatifs

📊 Tableaux de synthèse

Parité des opérations