Flashcards : Équation d’onde de d’Alembert — 21 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une chaîne de masses en modélisation mécanique ?

Réponse

Un solide modélisé par des masses identiques reliées par des ressorts identiques.

2Question

Quels éléments composent la chaîne de masses ?

Réponse

Des masses identiques m aux points A_n et des ressorts de raideur k et longueur l.

3Question

Quelle est la distance entre atomes à l'équilibre dans la chaîne ?

Réponse

La distance est égale à a.

4Question

Que subissent les atomes de la chaîne lors d'une perturbation ?

Réponse

Ils subissent un déplacement u_n par rapport à leur position d'équilibre.

5Question

Quelle est l'équation discrète du mouvement de la masse n ?

Réponse

$\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)$

6Question

Comment s'exprime $\omega_0^2$ dans l'équation du mouvement ?

Réponse

$\omega_0^2=\frac{k}{m}$

7Question

Quelle forme de solution harmonique est utilisée pour rechercher les modes propres ?

Réponse

$u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}$

8Question

Que fait-on après avoir choisi la solution harmonique pour trouver les modes propres ?

Réponse

On la reporte dans l'équation discrète du mouvement.

9Question

Quelle est la relation de dispersion de la chaîne exprimée en $\omega^2$ ?

Réponse

$\omega^2=4\omega_0^2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)$

10Question

Comment s'exprime $\omega$ en fonction de $k$ et $\omega_0$ dans la relation de dispersion ?

Réponse

$\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|$

11Question

Qu'impose l'approximation du milieu continu aux déplacements discrets ?

Réponse

Ils sont remplacés par un champ continu $u(x,t)$ tel que $u(na,t)=u_n$ .

12Question

Quelle opération est faite sur les déplacements voisins en approximation du milieu continu ?

Réponse

Ils sont développés au second ordre autour de $x$ .

13Question

Quelle relation approxime $u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n$ en milieu continu ?

Réponse

Elle s'approxime par $a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .

14Question

Quelle est la forme de l'équation de d'Alembert unidimensionnelle ?

Réponse

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .

15Question

Comment s'exprime la vitesse $c$ dans l'équation de d'Alembert ?

Réponse

$c = a \sqrt{\frac{k}{m}} = a \omega_0$ .

16Question

Qu'est-ce qu'une corde vibrante ?

Réponse

Une corde homogène de longueur L, masse linéique μ_L et tension uniforme T_0.

17Question

Qu'impose la faible perturbation transversale sur la longueur élémentaire de corde ?

Réponse

On assimile la longueur élémentaire de corde à $dl\simeq dx$ .

18Question

Quelle loi conduit à la tension constante et à l'équation du mouvement transverse ?

Réponse

La deuxième loi de Newton appliquée à un élément de corde.

19Question

Quelle est l'équation d'une onde transversale sur une corde ?

Réponse

$\mu_L\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=T_0\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$ .

20Question

Comment s'exprime l'équation d'onde en fonction de la vitesse c ?

Réponse

$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$ .

21Question

Quelle est la formule de la vitesse de propagation c sur une corde ?

Réponse

$c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_L}}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 10 questions sur Équation d’onde de d’Alembert.

1. Quel système physique représente la chaîne de masses étudiée ?

2. Dans le modèle discret, que représentent respectivement $a$ et $u_n$ ?

Faire le QCM →

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