Équation d’onde de d’Alembert

📋 Plan du Cours

1. Modèle discret de la chaîne
2. Équation et dispersion du réseau
3. Approximation du milieu continu
4. Onde transversale sur une corde

📖 1. Modèle discret de la chaîne

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne de masses : Modèle d’un solide constitué de masses identiques m placées aux points A_n et reliées par des ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide l.

📝 Points essentiels

• À l’équilibre, les atomes de la chaîne sont séparés d’une distance a et une perturbation leur fait subir un déplacement u_n par rapport à leur position d’équilibre.

💡 Astuce mémo

Une chaîne d’atomes modélisée par des masses reliées par des ressorts

📖 2. Équation et dispersion du réseau

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation discrète du mouvement de la masse n est $\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\right)$, avec $\omega_0^2=\frac{k}{m}$.

📐 Formule — La relation de dispersion de la chaîne est $\omega^2=4\omega_0^2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)$, soit $\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|$.

• Pour rechercher les modes propres de la chaîne, on utilise une solution harmonique de la forme $u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}$, puis on la reporte dans l’équation discrète.

💡 Astuce mémo