QCM : Équation d’onde de d’Alembert — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel système physique représente la chaîne de masses étudiée ?

Des masses identiques disposées sans interaction mécanique
Des masses identiques reliées par des ressorts identiques
Des masses différentes reliées par des ressorts identiques
Des ressorts identiques reliés entre eux sans masses

Des masses identiques reliées par des ressorts identiques

Explication

Le modèle représente des masses identiques de masse mm, placées aux points AnA_n et reliées par des ressorts identiques de raideur kk. Un modèle composé de masses sans interaction ne pourrait pas décrire la propagation mécanique dans la chaîne.

2. Dans le modèle discret, que représentent respectivement aa et unu_n ?

Le déplacement de l’atome d’indice nn et la distance d’équilibre entre deux atomes
La raideur d’un ressort et la longueur à vide de ce ressort
La longueur à vide d’un ressort et la masse de l’atome d’indice nn
La distance d’équilibre entre deux atomes et le déplacement de l’atome d’indice nn

La distance d’équilibre entre deux atomes et le déplacement de l’atome d’indice $$n$$

Explication

À l’équilibre, aa est la distance séparant deux atomes voisins, tandis que unu_n mesure le déplacement de l’atome d’indice nn après perturbation. La longueur à vide du ressort est notée ll, ce qui la distingue de aa.

3. Quelle équation décrit le mouvement discret de la masse d’indice nn ?

d2undt2=ω02(un+1−un−1)\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right)
d2undt2=ω02(un+1+un−1−2un)\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\right)
d2undt2=ω02(un+1+un−1+2un)\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}+u_{n-1}+2u_n\right)
d2undt2=ω02(2un−un+1−un−1)\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(2u_n-u_{n+1}-u_{n-1}\right)

$$\frac{d^2u_n}{dt^2}=\omega_0^2\left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\right)$$

Explication

L’accélération de la masse est déterminée par la combinaison discrète un+1+un−1−2unu_{n+1}+u_{n-1}-2u_n, multipliée par ω02=km\omega_0^2=\frac{k}{m}. La différence entre les déplacements voisins, sans le terme central approprié, ne donne pas l’équation du mouvement.

4. Quelle forme de déplacement faut-il introduire pour rechercher les modes propres de la chaîne ?

un(t)=U0ej(ωn−kat)u_n(t)=U_0e^{j(\omega n-kat)}
un(t)=U0ej(ωt−kna)u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}
un(t)=U0ej(kt−ωna)u_n(t)=U_0e^{j(kt-\omega na)}
un(t)=U0ej(ωt+kna)u_n(t)=U_0e^{j(\omega t+kna)}

$$u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}$$

Explication

La recherche des modes propres utilise une solution harmonique un(t)=U0ej(ωt−kna)u_n(t)=U_0e^{j(\omega t-kna)}, ensuite reportée dans l’équation discrète. Cette forme décrit un mode particulier, contrairement à l’équation discrète qui régit le mouvement général.

5. Quelle relation de dispersion associe la pulsation ω\omega au nombre d’onde kk dans la chaîne discrète ?

ω=ω0∣sin⁡(ka2)∣\omega=\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|
ω=ω0∣sin⁡(ka)∣\omega=\omega_0\left|\sin(ka)\right|
ω=2ω0∣sin⁡(ka2)∣\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|
ω=2ω0∣cos⁡(ka2)∣\omega=2\omega_0\left|\cos\left(\frac{ka}{2}\right)\right|

$$\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|$$

Explication

La dispersion s’écrit ω2=4ω02sin⁡2(ka2)\omega^2=4\omega_0^2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), donc ω=2ω0∣sin⁡(ka2)∣\omega=2\omega_0\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|. Le facteur 22 et l’argument ka/2ka/2 résultent de l’équation discrète appliquée à la solution harmonique.

6. Comment l’approximation du milieu continu relie-t-elle le champ u(x,t)u(x,t) aux déplacements discrets ?

Elle remplace unu_n par une fonction définie seulement aux indices entiers
Elle identifie u(x,t)u(x,t) à la longueur à vide de chaque ressort
Elle impose u(a,t)=nunu(a,t)=nu_n pour chaque indice nn
Elle impose u(na,t)=unu(na,t)=u_n pour chaque indice nn

Elle impose $$u(na,t)=u_n$$ pour chaque indice $$n$$

Explication

Le modèle continu introduit un champ u(x,t)u(x,t) dont la valeur aux positions discrètes x=nax=na coïncide avec le déplacement unu_n. Le champ continu n’est donc pas limité aux seuls indices entiers, mais prolonge la description à toute coordonnée spatiale xx.

7. Quelle équation et quelle célérité décrivent la propagation dans l’approximation du milieu continu ?

∂u∂t=c2∂2u∂x2\frac{\partial u}{\partial t}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} avec c=1akmc=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{k}{m}}
∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} avec c=akm=aω0c=a\sqrt{\frac{k}{m}}=a\omega_0
∂2u∂t2=c2∂u∂x\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial u}{\partial x} avec c=akmc=a\frac{k}{m}
∂2u∂t2=c∂u∂x\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c\frac{\partial u}{\partial x} avec c=kmc=\sqrt{\frac{k}{m}}

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$ avec $$c=a\sqrt{\frac{k}{m}}=a\omega_0$$

Explication

La limite continue conduit à l’équation de d’Alembert ∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, avec c=akm=aω0c=a\sqrt{\frac{k}{m}}=a\omega_0. La forme comportant une dérivée spatiale du premier ordre ne correspond pas à cette équation d’onde unidimensionnelle.

8. Quelle grandeur représente la masse linéique μL\mu_L d’une corde vibrante ?

La tension exercée par unité de longueur
La masse de corde par unité de longueur
La masse totale répartie sur la surface
La longueur de corde par unité de masse

La masse de corde par unité de longueur

Explication

La masse linéique indique combien de masse correspond à une unité de longueur de corde. La masse totale décrit l’ensemble de la corde et ne se confond pas avec une masse par unité de longueur.

9. Quelle relation donne la célérité d’une onde transversale sur une corde tendue ?

c=T0μLc=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_L}}
c=T0μL2c=\frac{T_0}{\mu_L^2}
c=μL2T0c=\frac{\mu_L^2}{T_0}
c=μLT0c=\sqrt{\frac{\mu_L}{T_0}}

$$c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_L}}$$

Explication

La célérité augmente avec la tension et diminue lorsque la masse linéique augmente, selon c=T0μLc=\sqrt{\frac{T_0}{\mu_L}}. L’expression inverse placerait incorrectement la masse linéique au numérateur.

10. Lors de l’établissement de l’équation du mouvement transverse d’un élément de corde, quelle démarche physique est utilisée ?

Imposer une longueur constante sans analyser les forces
Appliquer la deuxième loi de Newton à l’élément de corde
Égaler directement la masse totale à la tension uniforme
Négliger la tension pour isoler la déformation transverse

Appliquer la deuxième loi de Newton à l’élément de corde

Explication

L’application de la deuxième loi de Newton à un élément de corde permet d’obtenir la tension de norme constante puis l’équation du mouvement transverse. Une contrainte géométrique seule ne fournit pas l’équation dynamique recherchée.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 21 flashcards sur Équation d’onde de d’Alembert.

Qu'est-ce qu'une chaîne de masses en modélisation mécanique ?

Un solide modélisé par des masses identiques reliées par des ressorts identiques.

Quels éléments composent la chaîne de masses ?

Des masses identiques m aux points A_n et des ressorts de raideur k et longueur l.

Quelle est la distance entre atomes à l'équilibre dans la chaîne ?

La distance est égale à a.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Équation d’onde de d’Alembert.

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